CHANGEMENT DE BASES RANG ET SYSTEMES LINEAIRES
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CHAPITRE 4 CHANGEMENT DE BASES, RANG ET SYSTEMES LINEAIRES 1
Voir
- espaces vectoriels de dimension finie
- famille
- px ?
- unicite des coordonnees
- a11 ·
- vecteurs de l'espace vectoriel
Universit´edeNice D´epartementdeMath´ematiques
Cours 4 : Noeuds, cols, foyers et centres
Ann´ee2011-2012 Syst`emesDynamiques
Jusqu’icinousavonse´tudie´des´equationsdiff´erentiellescommemod`elespourladynamiqued’une quantit´eunique´evoluantaucoursdutemps.Apre´sentnousallons´etudierdessyste`mesdedeuxe´quations diff´erentiellesmod´elisantladynamiquededeuxquantite´s(parexempleleseffectifsdedeuxpopulations) e´voluantavecletempseninteractionl’uneavecl’autre.
Syst`emesdedeuxe´quationsdiff´erentielles Onconside`relesyst`emededeux´equationsdiff´erentiellessuivant: 0 x=f(x, y) 0 y=g(x, y)
(1)
ou`fetgsont deux fonctions que l’on supposeralissesesc’`at-ir-donecˆnitnemue´dtavir.)lbse( On appellesolution(ruetcevnu)1(et`emusysdx(t), y(tsdlentdo))no´neessuecxoodrnctionsontdesfo 0 du temps quie´vefiirnt’onaeterid-aleuqselleltiener-`st’e,cme`eff´dilestsyx(t) =f(x(t), y(t)) et aussi 0 y(t) =g(x(t), y(t)). On appellecondition initialeruedalosulitnoa`lavaleonl’ue(qlaitinitnatsni’l choisitsouvente´gala`0),c’est-`a-direlevecteur(x(0), y(0)). Parexemplepourlesyste`mediff´erentielsuivant,appel´eoscillateur harmonique, 0 x=−y (2) 0 y=x
onpeutv´erifierfacilementque,pourtouteslesvaleursder≥0 etθ∈[0,2π[, le vecteur (x(t), y(t)) = (rcos(t−θ), rsin(t−θtioiocdnitlainine(2))estunesolutionysude`tsteemssuaueiqsolatilulaon,0) est (x(t), y(t)) = (2cost,2 sint). Commepourles´equationsdiff´erentiellesuniques,onpeutrarementcalculerlessolutionsexactesd’un telsyste`mediffe´rentiel.Mais,commepourlese´quationsdiff´erentielles,onpeutmontrerquepourassurer l’existenceetl’unicite´dessolutionsdusyst`eme,e´tantdonne´euneconditioninitiale(x(0), y(0)), il suffit que les fonctionsfetgralrclecueutdonc,sses.Onpdtsevaioa`´dfeua’´tlenssniefid´uiiltneiosnoitauqeq dessolutionsexactes,chercher`ade´crirelecomportementdessolutionssoitparunee´tude qualitative, soit encalculantdessolutionsapproch´ees(ou,mieuxencore,lorsquec’estpossible,encombinantlesdeux approches).
Trajectoires et champs de vecteurs Onpeutrepre´senterge´om´etriquementlessolutionsdusyste`mediff´erentieldedeuxfa¸consdiffe´rentes: soit on trace les graphes de chacunes des deux composantes de la solution comme des fonctions du temps, soit on trace la courbe image det→(x(t), y(t)) qui est unebruorapee´mae´rtecdans le plan (x, y) qu’on appelle unetrajectoire.eme`stsydu Dans le cas de l’oscillateur harmonique, les trajectoires sont des cercles concentriques (pourquoi?). Onsaitquela“vitessedede´placement”surlacourbesolutionestdonn´eeparlevecteur vitesseque l’on peutcalculersimplement`al’aidedesde´riv´eesdesdeuxcomposantesdelasolution 0 x(t) V=. 0 y(t)
0202 A noter que plus sa longueurkVk=x(t) +y(t) estgrande et plus la courbe est parcourue rapidement parladynamiqueassoci´eeausyst`eme. Bienqu’onneconnaissepaseng´ene´rallestrajectoires,onconnaitne´anmoinsleursvecteurstangent V(x, ype´nelratsyseme`uitpu’sqesilontd)neottuopniitlereneid´ffV(x, y) = (f(x, y), g(x, y)). Au syste`mediff´erentielcorresponddoncunchamps de vecteurseer´srapaetm´uocssebr.naleltEdanslep t7→(x(t), y(tedifft`emntie´ereltseslnoebtsocrusoui)q)itulostnsysudsnogeanesntchenunaceledsru pointsauvecteurdecoordonne´es(f(x, y), g(x, y)). Etudequalitative,isoclines,e´quilibres L’e´tude qualitativedusenaxemdnraitdru’e,unusyst`emisno`ets`tsycemeerinap,`´eadrmteaper¸cudu champs de vecteurs’dne´ddereuianfil’alluredes trajectoires. Pour cela on remarque que sif(x, y) = 0 en un point, le vecteur du champs de vecteur sera vertical encepoint,etdemˆemesig(x, yquatd’´eionqteudeiuruebalocizortaonOnl.d´en0=)sli,hareg(x, y) =
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