Chapitre 4.9 – Le champ magnétique généré par un solénoïde
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Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B Page 1 Note de cours rédigée par : Simon Vézina Chapitre 4.9 – Le champ magnétique généré par un solénoïde Champ de deux boucles espacées Si l'on courbe notre ligne de courant en cercle, on peut définir l'orientation du champ magnétique à l'aide de la règle de la main droite. Considérons les deux anneaux portant des courants de même intensité et de même sens. Si l'on étudie la forme du champ magnétique produit par les points 1 et 2, on réalise que le champ magnétique provient de deux courants parallèles de sens identique.
Voir
- sin
- solénoïde
- bα ⇒
- iinb vv
- angles en α
- angle α
- axe central
- courant électrique
- courants électriques
- courant electrique
- champs magnétiques
- champ magnétiques
- champs magnétique
- champ magnétique
Chapitre 4.9 – Le champ magnétique généré par un solénoïdeChamp de deux boucles espacéesSi l’on courbe notre ligne de courant en cercle, on peut définir l’orientation du champ magnétique à l’aide de la règle de la main droite. Considérons les deux anneaux portant des courants de même intensité et de même sens. Si l’on étudie la forme du champ magnétique produit par les points 1 et 2, on réalise que le champ magnétique provient de deux courants parallèles de sens identique. Nous avons déjà résolu ce problème. De plus, si l’on étudie la forme du champ magnétique produit par les points 1 et 3, on réalise que le champ magnétique provient d’une spire unique. Nous avons également déjà résolu ce problème. Ainsi, on peut déduire la forme complète du champ magnétique autour de deux spires.
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Champ d’un solénoïde Définition : Un solénoïde est un enroulement d’un fil conducteur formant plusieurs spires parallèles. Le solénoïde représente ainsi une séquence de bobine. Si l’enroulement n’est pas trop serré, on retrouve la forme d’un champ magnétique produits par deux spires tel que décrit à la section précédente.
Si l’enroulement est très compact, le champ magnétique autour de chaque fil devient nul puisque les courants sont très près les uns des autres. L’addition vectorielle du champ magnétique autour de chaque fil est donc nulle. On remarque ici que lesolénoïdeparcouru d’un courantproduit unchamp magnétiquede la même forme qu’unaimant (avec pôle nord et pôle sud). Ainsi, le solénoïde devient unélectroaimant. Champ magnétique sur l’axe central d’un solénoïde Le module du champ magnétique généré sur l’axe central d’un solénoïde dépend du courant Idans le solénoïde et de la densité de spires circulant n. De plus, le module dépend de la distance entre le pointPet le solénoïde et la taille du solénoïde le tout représenté à l’aide de deux angleαetα: 1 2 I0n I B=cos(α)−cos(α) 2 12 α2oùB : Champ magnétique sur l’axe centrale au pointP(T) Côté 2Côté 1 n : Nombre de spires par unité de longueur (n=N/L) LICourant électrique (A) : α1: Angle pour positionnerCôté 1par rapport au pointPα: Angle pour positionnerCôté 2par rapport au pointP2
−7 2 2 µ0: Constante magnétique,µ0=4π×/ C10 Ns
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PB
Preuve : Afin d’évaluer le champ magnétique généré par un solénoïde, utilisons la solution du champ magnétique généré par une bobine de largeurL: IChamp magnétique généréaαP par une bobine : BI 0 3 B=Nsin(α)2 Puisqu’un solénoïde est un regroupement de plusieurs bobines placé côte à côte, nous allons découper notre solénoïde en plusieurs petites tranches de largeurdxcomprenant une densité de spiresn. Ces tranches représentent des bobines formées à l’aide d’un nombre infinitésimal de spiresdN=n dx. On pourra remplacer dans notre formule précédente leNpar dN: Champ magnétique infinitésimal : xv µI3 0 dB=dNsin(α)nˆ IR2 PαetdN=n dxv dBnˆ=i (règle main droite) dxPuisque l’angleαest une fonction dex, évaluons l’intégrale sur l’angleα(car la solution est exprimé en fonction deα1 etα2) ce qui nous oblige à introduire des relations trigonométrique entrexetα: RR tan(α)=⇒x= (Isolerx) tan(α)
⇒
⇒
⇒
2 −Rsec(α) dx=dα2 tan(α)
2 −R(1/ cos(α)) dx=dα2 2 (sin(α)/ cos(α)) −R dα dx=2 sin(α)
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B Note de cours rédigée par : Simon Vézina
2 dsec(x) (Dérivée :(1/ tan(x))= −) 2 dxtan(x)
(sec(x)=1/ cos(x),tan(x)=sin(x)/ cos(x))
(Simplifier)
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v µI 0 3 B=dNsin(α)nˆ ∫ 2 v v µI 0 3 B=(n dx)sin(α)(i)∫ 2 v v µn I 0 3 B=sin(α)dx i∫ 2 v µ v 0n I3Rdα B=sin(α)−i∫2 2Rsin(α)
⇒
(Factoriser les constantes)
(Remplacerdx)
⇒
⇒
⇒
(RemplacerdNetnˆ )
⇒
v µI 0 3 (RemplacerdB=dNsin(α)nˆ ) 2
I
R
x
(Simplifier et factoriser consantes)
⇒
⇒
⇒
⇒
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(Résoudre l’intégrale :
sin(x)dx= −cos(x))
Pαv dB
Évaluons à l’aide d’une sommation continue de champs magnétiques infinitésimauxdBchamp magnétique le total au pointPen se basant sur le schéma cicontre : dN=n dx−R dα dx=2 sin(α) nˆ=i (règle main droite)
B=dB∫
Ainsi :
(Borne :α=α1→α2)
(Évaluer l’intégrale)
(Factoriser signe négatif)
(Évaluer seulement le module du champB)
dxv µ0I3 dB=dNsin(α)nˆ 2
⇒
v v µ0n I B= −sin(α)dαi∫ 2 α v v 2 µn I 0 B= −sin(α)dαi∫ 2 α=α 1 v v µ0n Iα2 B[( )]i = − −cosαα12 v v µ0n Iα2 B=[cos(α)]αi1 2 v v µn I 0 B=(cos(α)−cos(α))i2 1 2 µ0n I B=cos(α2)−cos(α1)2
Situation A :Dans un solénoïde.Un solénoïde de 10 000 tours ueur deossède une lon 20 cm et un ra on de 5 cm. La résistance totale du fil utilisé our roduire l’enroulement est de 2. On branche ce solénoïde à une ile de 0,5 V. On désire évaluer le module du champ magnétique produit à 5 cm du centre du solénoïde.Évaluons le courant électrique qui circule dans le solénoïde : (Loi d’Ohm) ΔV ΔV=R I⇒I=
⇒
(0,5) I=(2)
⇒I=0,25 A Schéma des mesures des angles :
Côté 1
5 cm
α1
α2
P
Côté 2
5 cm 15 cm Nous avons les informations suivantes selon la géométrie du problème : Courant circulant dans le fil :I=0,25 A N(10 000)1 Densité de spire :n= =⇒n=m50 000 L(0,20) (5) Angleα: tan(α)=⇒α=45°1 1 1 (5) (5) ⇒ Angleα2: tan(α)=α=18,43°(15) ⇒α2=161,6°Évaluons le module du champ magnétique au pointP: −7 n I(4π×10)(50 000)(0,25) 0 B=cos(α)−cos(α)⇒B=cos(161,6°)−cos(45°)2 1 22 −3 ⇒B=7,85×10−1,656
⇒
−2 B=1,30×10 T
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Exercice 4.9.XLa superposition des champs magnétiques de deux solénoïdes. Le schéma ci dessous illustre un montage qui comporte deux solénoïdes,Atours) et (13 B (7 tours). Les fils qui forment les solénoïdes ont un rayon de 1 mm et sont faits d’un matériau dont −6 la résistivité est égale à 2×10⋅m .(a)Calculez la résistance des fils des solénoïdesAetB.(b)le champ magnétique généré au point P par le montage des deux Calculez solénoïdes.Dans tous les calculs, négligez les segments de fils qui servent de connexion entre les piles et les solénoïdes.10 cm
25 cm
10 cm
P
A
12
B
y
25 cm
x
10 cm
15 cm10 VSolution 4.9.XLa superposition des champs magnétiques de deux solénoïdes. Évaluons les paramètres géométriques du solénoïdeAetB: Rayon fil :R=1 mm=0,001 m
Résistivité fil :
−6 ρ=2×10⋅m
Circonférence fil A :C=πD=π(0,1)=0,314 m A A Circonférence fil B :C=πD=π(0,1)=0,314 m B B 2 2−6 2 Surface circulaire A et B :A=πR=π(0,001)=3,141×10 m Supposons que la longueur du fil sur le solénoïde est comptée de la façon suivante : l=N∗C
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Voici la longueur du fil composant le solénoïdeAetB: l⇒l N=13 spiresA=N∗C=(13)(0,314)A=4,082 m AA A l⇒l NB=7 spires=N∗C=(7)(0,314)B=2,198 m B B B (a)Évaluons la résistance des fils des solénoïdes avec la formule de la résistivité : ll A−6(4,082) ⇒ R=ρR=ρ=(2×10)⇒RA=2,60ΩA −6 AA(3,141×10)
l B−6(2,198) ⇒ RB=ρ=(2×10)−RB=1,40Ω6 A(3,141×10) Évaluons les courants électriques qui circulent dans les solénoïdesA etB à partir de leur résistance et de la loi d’Ohm : ΔV ΔV=R I⇒I=
ΔVAεA(12) I=4, Pour A :IA= = =⇒A62 A R R(2,60) A A ΔVε(10) B B I Pour B :IB= = =⇒B=7,14 A R R(1,40) B B Avec la solution du champ magnétique produit par un solénoïde, évaluons le champ magnétique produit par les solénoïdesAetB: µ0nI B=(cos(α2)−cos(α1))2 Information sur le solénoïdeA: La direction deB:jA N(13) A n=52 s/m Spires :nA= =⇒Aspire L(0,25) A 0,05 ⇒=26,57° Angles : tan(αA1)=αA10,10 0,05 ⇒=1° tan(αA2)=αA28, 30,10+0,25 v v µn I 0A A Champ :BA=(cos(αA)−cos(αA))j2 1 2 −7 v v (4π×10)(52)(4,62) ⇒B=(cos(8,31°)−cos(26,57°))jA 2 −6 ⇒BA=14,4×10jT
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Information sur le solénoïdeB:
La direction deB:iB N(7) B Spires :n= =⇒n=28 spires/m B B L(0,25) B 0,05 ⇒ Angles : tan(αB1)=αB1=18,43°0,15 0,05 α=7,13° tan(αB2)=⇒B20,15+0,25 v v µn I 0B B Champ :B=(cos(α)−cos(α))iB B2B1 2 −7 v v (4π×10)(28)(7,14) ⇒B=(cos(7,13°)−cos(18,43°))iB 2 −6 ⇒B=5,47×10iT B (b)Évaluons le champ magnétique total au point P sous forme vectorielle : v −6 B=B+B⇒B=(5,47i+14,4j)×10 T A B
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