Cours d'introduction à la fonction

Cours d'introduction à la fonction
FONCTIONS 1

I) NOTION DE FONCTION

1) Qu'est-ce qu'une fonction ?
En maths, une fonction est une sorte de "machine à transformer des nombres"
Ex : Soit f la fonction affine définie par : x  2 x − 1
0 
1 
−2,3 
 
èmeEn 3 , nous nous sommes limités aux fonctions affines, mais nous allons voir cette année que la notion de
fonction est beaucoup plus générale !
Rappels sur les fonctions affines pour ceux qui ont oublié :
Cours : 4.1 et 4.2 p72
Exercice type : 5 p73
Exercices avec fonctions affines :
p75 : 7
p79 : 28, 32, 33
p80 : 38
p81 : 47
 donner à la maison la situation p83 : 62
du §2 "ex pour illustrer la suite" p84 : 65, 66
p86 : 72 Cours d'introduction à la fonction
2) Un exemple pour illustrer la suite
Un campeur dispose d'une bâche carrée de 3 m de côté qu'il utilise comme toile
de tente. On pose x = AH et on considère que le triangle ABC est isocèle.
Le but du problème est de déterminer quelle hauteur x de piquet choisir pour que
A le volume de la tente soit maximum.
 À quel intervalle x appartient-il ?
 Déterminer AB puis BH, en déduire l'aire de ABC en fonction de x
 Déterminer le volume de la tente en fonction de x. On notera ce volume f (x)
B C H

 BA + AC = 3 et BA = AC donc BA = 3/2
or 0  AH  AB donc x  [0 ; 3/2]
2 2 2 Or d'après Pythagore dans le triangle ABH rectangle en H, on a : AB = BH + AH
2 2 2 2 2 2donc BH = AB − AH = 9/4 − x donc BH = 9/4 − x (BH est une longueur positive donc BH  − 9/4 − x )
AH × BC 2Comme (AH)  (BC), on a donc : Aire(ABC) = = AH × BH = x 9/4 − x 2
2f (x) = 3 x 9/4 − x  Pour obtenir le volume de la tente, multiplions l'aire de ABC par sa longueur :


3) Un peu de vocabulaire
Dans le langage courant, on dit que le volume de la tente est fonction de la hauteur du piquet.
2Dans le langage mathématique, on dit que : f est la fonction définie sur [0 ; 3/2] par x  3 x 9/4 − x
 [0 ; 3/2] est l'intervalle d'étude ou l'ensemble de définition de la fonction f. C'est l'ensemble des valeurs que x
peut prendre. On le nomme en général Df
2 x  3 x 9/4 − x est le procédé qui va permettre, pour chaque x de Df, de déterminer son image par la
fonction f


4) La Représentation graphique de la fonction f, notée Cf est la courbe d'équation y = f (x).
Cela veut dire que les points de Cf sont les points du plan dont les coordonnées vérifient la relation y = f (x).
Cf est donc l'ensemble des points de coordonnées (x ; f (x)).
Plus la courbe est pentue, plus il faut
Tableau de valeurs : rapprocher les valeurs de x !
x 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,4 1,47 1,5
f (x) 0 1,1 2,1 2,9 3,4 3,1 2,3 1,3 0

Représentation graphique :

 Ne jamais oublier :
 repère (O; i; j)
 axes gradués, nommés, orientés
 nom ou équation de la courbe :
9 2Cf ou y = f (x) ou y = 3 x − x 4


Remarque : Ce graphique permet de conclure que le volume de la tente sera maximum pour une valeur de x
proche de 1
p75 : 3
p80 : 39, 40
+ faire tracer les courbes des fonctions de références à la main Cours d'introduction à la fonction
5) Images - Antécédents
 Images : f (x) n'est pas une fonction mais un nombre ! C'est l'image du nombre x par la fonction f.
Chaque x de Df a une image et une seule par f
9 5 32Ex : f (1) = 3 × 1 × − 1 = 3 = 5 (  3,4) 4 4 2
 Antécédents : Les antécédents du nombre k sont les nombres qui ont k pour image.
Chaque réel a zéro, un ou plusieurs antécédents par f
Ex : Ici, on voit graphiquement que 1,5 a deux antécédents. Appelons les a et b : a  0,34 b  1,46

Remarque : Chercher les antécédents d'un nombre k par une fonction f,
c'est chercher à résoudre l'équation f (x) = k

y
Cf
1,5
j
i
x O 1


6) Lorsque l'intervalle d'étude n'est pas précisé
On convient de prendre  tout entier sauf les valeurs interdites de x.

x + 1
Ex : Déterminer l’ensemble de définition de f définie par x  x
Conditions :
  x + 1  0 x  −1
   x  0 x  0 
donc Df = [−1 ; 0[  ]0 ; + [

p75 : 2
p79 : 16, 19, 20, 21, 23
p84 : 64 (questions 1, 2 et 5) Cours d'introduction à la fonction
II) RESOLUTIONS GRAPHIQUES D'EQUATIONS ET D'INEQUATIONS

3 2Ex : Soit f la fonction définie sur  par x  x + 3 x + 2 x + 1

y C f
y =1
j
x –2 –1 0 i


 Résoudre graphiquement f (x) = 1 :
Les solutions sont les abscisses des points d'intersection de Cf avec la droite d'équation y = 1
S = { −2 ; −1 ; 0}

 Résoudre graphiquement f (x) > 1 :
Les solutions sont les abscisses des points de Cf situés au dessus de la droite d'équation y = 1
S = ]−2 ; −1[  ]0 ; + [

p75 : 1, 5, 6
p80 : 43, 44
p84 : 68
+ retrouver graphiquement les résultats des équations et
inéquations du chapitre précédent
2-exo-calculatrice-graphique.xls
2-outil-resolution-graphique.html