Cours de terminale S sur les exponentielle
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COURS TERMINALE S LA FONCTION EXPONENTIELLE A. Approximation d'une courbe par la méthode d'Euler On considère une fonction f dérivable sur un intervalle I, et C sa courbe représentative dans un repère du plan. On suppose connu un point M(x ; y ) de la courbe C. On sait que pour h non nul proche de0 0 0, l'approximation affine de la fonction f donne : f(x + h) = f(x ) + hf '(x ). Soit x = x + h0 0 0 1 0 et y = f(x ) + hf '(x ) = y + hf '(x ). On obtient un point M (x ; y ) . 1 0 0 0 0 1 1 1 Soit x = x + h et y = f(x ) + hf '(x ) = y + hf '(x ). On obtient un point M (x ; y ), et ainsi2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 de suite. On trace alors les segments [MM ], [M M ], [M M ], etc... qui donne une1 1 2 2 3 approximation de la courbe C représentative de f. Plus h est proche de 0 et plus l'approximation est bonne. B. L'équation différentielle f ' = kf 1. Résultat préliminaire : On considère une fonction f dérivable sur et un nombre réel k tels que, pour tout réel x , f ' (x) = kf(x) et f(0) = 1. Alors la fonction f ne s'annule pas sur . Démonstration : On considère la fonction g définie par g(x) = f(x)× f(– x). Cette fonction g est dérivable sur comme produit et composée de fonctions dérivables sur . On a g'(x) = f '(x)× f(– x) + f(x)× (– f '(– x)) = kf(x)× f(– x) + f(x)× (– kf(– x)) = 0. Donc la fonction g est constante sur égale à g(0) = f(0) × f(0) = 1² = 1.
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COURS TERMINALE S EXPONENTIELLELA FONCTION
A. Approximation d'une courbe par la méthode d'Euler On considère une fonctionf intervalle I, et C sa courbe représentatidérivable sur un dans un repère du plan. On suppose connu un pointxM0;( y 0) de la courbe C. On sait quehhc ep orur po nul non 0, l'approximation affine de la fonctifondonne :f(x0+h) =f(x0) +h f'(x0). Soitx 1=x0 +h ety1=f(x0) +h f'(x0) =y 0+hf'(x0). On obtient un point1(Mx1;y 1) . Soitx2=x 1+h ety 2=f(x1) +hf'(x1) =y 1+hf'(x1). On obtient un point2(xM2;y 2), et ain de suite. On trace alors les segments [1[M, ]MM1M2], [M2M3], etc... qui donne une approximation de la courbe C représentativef.dePlush est proche de 0 et plus l'approximation est bonne.
= B. L'équation différentiellef kf ' 1. Résultat préliminaire :On considère une fonctiofn dérivable sur et un nombre r ktels que, pour tout réxel, f'x() =k f(x) etf 1. Alor (0) =tci salf nofonne s'annule pas sur. Démonstration: On considère la fonctiogn définie parg(x) =f(x)× f(–x). Cette fonctio gest dérivable sur comme produit et composée de fonctions dérivables .sur On ag'(x) =f(' x)× f(–x) +f(x)×(–f '(–x)) =kf(x)× f(–x) +f(x)×(–k f(–x)) = 0. Donc la fonctiong est constante sur égale àg(0) =f(0)× f(0) = 1² = 1. Donc, pour tout réexl, g(x) =f(x)× f(–x) = 1, eft(x)0.
2. Etude de l'équationf' =f. Théorème: il existe une unique fonctfiurels vibad réno telle quef ' =f etf (0) = 1. Cette fonction s'appelle lfao nction exponentielle, notée exp. Démonstrationl aémhtdouElcnof al tse noitctjeon car péeur exis: L'e detencer qui 'd permet de construire une courbe solution de l'équation différlelen tfie' =f (voir figures ci-contre). On peut toutefois démontré l'unicité: on considère la fonctiognsolution de l'équation différentielfle' =f et tel quge(0) = 1. Soiht la fonction définie parh(x) =gfxx. Cette fonctionh est dérivable sur comme quotient de fonctions dérivables sur etf(x d'après B. 0) ≠ 1. gxfxgxfx On ah'(x) =g 'xfxgxf 'x==0 fx2 fx2 . Donc la fonctionh est consh=g0 tante sur égale à (0)f0= 1. Ainsi, pour tout réexl, gfxx= 1 et dongc(x) =f(x). La fonction exp est donc unique. 3. Etude de l'équationf' =kf. Théorème: il existe une unique fonctfiondérivable sur telle quef = 'k fetf (0) = 1. Cette fonction est définie sur par expk(x) . Démonstration: Existence: En prenafn(tx e px)= k(x) , cette fonction est dérivable s composée deu,r comme fonctions dérivables sur etf(0) = exp(0) = 1.ftE( 'x) =kexp(kx) (en utilisant la dérivée des fonctions composées: (uov)'(x) =u '(v(x))v'(x) ). Cette fonction est bien solution de l'équaftio' n=k fetf = 1. (0) Unicité: Démonstration similaire à celle de la partien 2coensidérant une fonctiogn solution de l'équation différentielle f' =kf et telle quge(0) = 1 et la fonctiohndéfinie parh(x) =gfxx.
