Enseigner les mathématique
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- exposé
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- approche du modèle
- dire au stade du traitement des situations particulières
- développement des capacités d'argumentation, d'organisation et de communication
- parcours d'apprentissage des élèves
- particulier de l'apprentissage de la distinction entre les indices de contexte
- exposé du savoir
- pratique pédagogique
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Chapitre 1. INTRODUCTION
Tout enseignant et plus généralement tout formateur conçoit son enseignement en référence consciente ou subconsciente à un modèle pédagogique (et même inconsciente si lon en croit lapproche freudienne des phénomènes éducatifs), nous entendons ici le mot « modèle » comme synonyme du mot cadre. Ce cadre oriente les choix qui concernent, dune part, lorganisation des contenus et les approches didactiques et, dautre part, les activités qui supporteront les parcours dapprentissage des élèves. Au travers de ce guide pédagogique nous voulons indiquer aux professeurs de lycées professionnels les modèles et les pratiques pédagogiques qui paraissent aujourdhui les plus adéquats aux apprentissages des élèves. Les éléments qui sont ultérieurement exposés empruntent aux recherches contemporaines dans les domaines de la pédagogie et de la didactique des mathématiques. Le cadre pédagogique que pour notre part nous adoptons est cohérent avec celui avancé dans les commentaires pédagogiques qui accompagnent les programmes de formation. Nous faisons nôtres les objectifs, méthodes et contenus développés dans ces documents. Nous y relevons dailleurs des propos qui nous paraissent particulièrement importants : «Lenseignement des mathématiques, en contribuant au développement des capacités dargumentation, dorganisation et de communication met en pratique unedémarche mathématique: -mathématisation dun problème simple ; -travail dexpérimentation et de recherche ; -mise en uvre doutils et de raisonnements pour résoudre ce problème; -contrôle des résultats obtenus ; -analyse de la portée des résultats. La démarche consiste donc à bâtir des mathématiques le plus souvent possible à partir de problèmes apportés par les disciplines scientifiques et technologiques.»
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De façon synthétique et peut-être réductrice, nous pensons que les recommandations pédagogiques tendent à favoriser la mise en place dune pédagogie inductive centrée sur lélève. Cela veut dire que lélève se construit ses propres savoirs au travers de ses propres activités et des activités de structuration conduites par le professeur ; nous adhérons totalement à ce projet. Pourtant, nous avons pu remarquer de larges décalages entre ce projet et la pratique de lenseignement des mathématiques, notamment dans les classes préparant un Brevet dEtudes Professionnelles. En effet, les pratiques « expositives » restent encore largement dominantes dans les établissements et leur régression est très lente. Remarquons tout dabord que la principale faiblesse de la méthode expositive est quelle mobilise avant tout la parole du professeur (essayer un jour de chronométrer le temps de parole dun enseignant qui pratique cette méthode et le temps de parole des élèves, vous verrez cest édifiant et ça doit nous interpeller sur nos propos concernant les faiblesses des lycéens professionnels à loral). Or les distances linguistique et cognitive entre le professeur et les élèves sont telles que la communication est rendue difficile si elle sétablit à partir des propos de lenseignant, la communication sétablit plus aisément quand elle part des propos des élèves. Le professeur, qui peut alors sappuyer sur les représentations mentales évoquées par les élèves, guide le débat qui permet de rectifier, de reformuler, de verbaliser et de symboliser des savoirs structurés. Nous y reviendrons plus largement ultérieurement. Remarquons encore que lapproche inductive souvent adoptée dans lexposé du savoir est en général privée de sens car cet exposé juxtapose une procédure élaborée à partir dune situation problème particulière et la procédure générale adaptée à la famille de situations problèmes à laquelle appartient la situation particulière. Cette juxtaposition abusive et privée de rigueur scientifique élude lapprentissage de la reconnaissance des indices de compréhension dune situation et en particulier de lapprentissage de la distinction entre les indices de contexte et les indices de structure. Par là, elle ne permet pas aux élèves de faire accéder leurs apprentissages au stade de la pensée formelle, ceux-ci en restent au stade de la pensée concrète cest-à-dire au stade du traitement des situations particulières. Chacun peut sen rendre compte en observant les comportements dune majorité de jeunes devant des situations qui mettent en jeu des lettres(situations algébrisées). Les élèves ne conçoivent pas la lettre comme un symbole représentant lune quelconque
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des valeurs que peut prendre la lettre mais comme une valeur particulière, totalement abstraite. En somme, la lettre masque une valeur particulière quil est interdit de dévoiler tout au long du problème, sauf peut être à la fin. Voilà pourquoi certains veulent la remplacer par une valeur numérique explicite. Et pourquoi ne le pourraient-ils pas puisque le professeur paraît bien le pratiquer pendant le cours dans la mesure où il travaille ou fait travailler avec une (ou plusieurs) valeur(s) numérique(s) explicite(s) puis modélise avec une (ou plusieurs) lettre(s) ? Le professeur « masque » et lélève « démasque ». Nous avons employé ici un ton humoristique pour décrire et interpréter des comportements que la plupart des enseignants connaissent et/ou ont rencontré. .
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Chapitre 2. APPROCHE DU MODÈLE
Les premiers traits grossiers du contour du cadre pédagogique dans lequel sexerce larticulation entre lenseignement du professeur et lapprentissage de lélève résultent du choix par le maître : -de son interprétation épistémologique dominante ; de la théorie du développement quil adopte ; --la nature de la relation au savoir de lélève.de sa conception de 2.1. LES DIVERSES INTERPRETATIONS EPISTEMOLOGIQUES Il faut distinguer deux grands courants de pensée fondés sur : -lhypothèse considérant queles connaissances cherchent à atteindre des vérités permanentes, indépendantes de toute construction. Ce courant se scinde en fonction de la prise en considération de la relation objet/sujet : •laccent peut être mis sur lobjet que le sujet saisit comme de lextérieur, sans activité propre de sa part. Les idées existent en elles-mêmes, sous forme duniversaux subsistant : οde façon immanente aux choses (intérieur aux choses ou noumène), cest leréalisme aristotélicien οde façon transcendante aux choses (extérieur aux choses), cest le rationalisme platonicien •laccent peut être mis sur le sujet qui projette a priori ses cadres sur la réalité qui ne serait jamais totalement extérieure à lactivité du sujet. Ce sont les diverses formes didéalismeElles correspondent à des conceptions philosophiques qui ramènent lêtre à la pensée (BERGSON) ou qui font de la pensée le point de départ de toute connaissance de lêtre ou réalité (DESCARTES, MALEBRANCHE, LEIBNITZ) ou, au contraire, son point daboutissement (HEGEL).
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-lhypothèse considérant que laconnaissance se construit. Ce courant lui aussi se scinde selon les caractéristiques de la relation objet/sujet. •lorsque laccent est mis sur lobjet il simprime sur un sujet passif. Cestlempirismequi considère que la connaissance humaine dérive toute entière, directement ou indirectement de lexpérience sensible (LOCKE, HUME, MILL); •lorsque laccent est mis sur le sujet alors celui-ci modèle le réel en fonction de son activité. Cestle pragmatisme qui privilégie la pratique à la théorie, la conséquence aux principes et qui cherche le critère de vérité dans laction (PIERCE, JAMES, DEWEY); •enfin lorsque la relation entre objet et sujet est indissociable cest le relativisme qui, partant du monde sensible et sans se couper de lui, construit une «image du monde réel» présentant un maximum de cohérence et de logique interne. 2.2. LES THÉORIES DU DÉVELOPPEMENT AU XXèmeSIECLE Sur les interprétations épistémologiques précédentes se sont développées des théories du développement. Nous appelonsdéveloppement transformation continue de lêtre toute humain au cours de sa vie, tant physique que psychique, qui passe par des stades à peu près semblables qui servent de point de repère pour apprécier la maturité affective, la maîtrise de soi, la conception dun idéal moral et social. Cette transformation continue inclutles processus dapprentissage Doù lintérêt du pédagogue pour les théories de lapprentissage dans la mesure où sa mission est de guider et daccompagner le développement dun sujet en puissance donc de favoriser les apprentissages qui feront du «petit dhomme» un être social-historique ou encore un nouvel habitant de lhumanité. La problématique fondamentale de lapprentissage repose sur la relation entre le sujet apprenant et lobjet de lapprentissage, le pédagogue structurant le lien. Les deux courants de pensée évoqués dans le paragraphe sur les interprétations épistémologiques ont engendré deux courants pédagogiques fondamentaux. Ce qui les distingue cest le paradigme qui les fonde. Ainsi deux paradigmes sont repérables :la découverte(qui saccommode de la permanence des
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