Les espaces de Banach constituent le cadre privilegie de la majeure partie des analystes en particulier la norme permet de quantifier la “taille” des elements et de proceder a des estimations
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CHAPITRE II Interpolation Les espaces de Banach constituent le cadre privilegie de la majeure partie des analystes ; en particulier, la norme permet de quantifier la “taille” des elements, et de proceder a des estimations. L'interpolation entre espaces de Banach fait partie de la trousse a outils developpee pour faciliter les calculs dans ce contexte. Imaginee pour la premiere fois par M. Riesz en 1926, la theorie de l'interpolation a pris son essor en 1939, quand Thorin d'une part, Marcinkiewicz d'autre part, mirent au point les demonstrations des deux theoremes emblematiques de l'interpolation ; ces theoremes allaient ouvrir la voie, l'un a l'interpolation complexe, et l'autre a l'interpolation reelle, methodes developpees principalement dans les annees 50 et 60 par Stein, Zygmund, Calderon, Lions, Peetre, et qui font aujourd'hui partie du bagage courant des analystes. Sommaire II-1. Introduction 33 1.1. Motivations 33 1.2. Definitions 34 II-2. Interpolation complexe 36 2.1. Theoreme de Riesz-Thorin 36 2.2. Interpolation complexe abstraite 41 2.3. Extrait du catalogue d'interpolation complexe 43 2.4. Exemples d'identification d'espace interpole 44 2.5. Applications 44 II-3. Interpolation reelle 45 3.1. Theoreme de Marcinkiewicz 45 3.2. Interpolation reelle abstraite 47 3.3. Extrait du catalogue d'interpolation reelle 51 3.4. Un exemple d'identification d'espace interpole 52 3.5.
Voir
- representation de la norme par dualite
- interpolation reelle abstraite
- dualite entre espaces lp
- familles d'espaces de banach dependant
- interpolation
- theoreme de riesz-thorin
- lineaire continue
- interpolation complexe
CHAPITRE II
Interpolation
LesespacesdeBanachconstituentlecadreprivil´egi´edelamajeurepartiedes analystes;enparticulier,lanormepermetdequantifierla“taille”des´el´ements,et deproce´dera`desestimations. L’interpolationentreespacesdeBanachfaitpartiedelatrousse`aoutilsd´evelopp´ee pourfaciliterlescalculsdanscecontexte.Imagine´epourlapremi`erefoisparM.Riesz en1926,lath´eoriedel’interpolationaprissonessoren1939,quandThorind’une part,Marcinkiewiczd’autrepart,mirentaupointlesde´monstrationsdesdeux the´ore`mesemble´matiquesdel’interpolation;cesthe´ore`mesallaientouvrirlavoie, l’`l’interpolationcomplexe,etl’autre`al’interpolationr´eelle,m´ethodesde´veloppe´es un a principalementdanslesanne´es50et60parStein,Zygmund,Calder´on,Lions,Peetre, et qui font aujourd’hui partie du bagage courant des analystes. Sommaire II-1. Introduction 1.1. Motivations 1.2.D´efinitions II-2. Interpolation complexe 2.1.Th´eor`emedeRiesz-Thorin 2.2. Interpolation complexe abstraite 2.3. Extrait du catalogue d’interpolation complexe 2.4.Exemplesd’identificationd’espaceinterpol´e 2.5. Applications II-3.Interpolationr´eelle 3.1.The´ore`medeMarcinkiewicz 3.2.Interpolationr´eelleabstraite 3.3.Extraitducatalogued’interpolationr´eelle 3.4.Unexempled’identificationd’espaceinterpole´ 3.5. Applications Re´f´nces ere
33 33 34 36 36 41 43 44 44 45 45 47 51 52 55 55
II-1. Introduction 1.1. Motivations. Le but principal de l’interpolation est de construire des re-cettes permettant des court-circuits dans des estimations fastidieuses, qui font inter-venirsoitdesop´erateursline´airescompliqu´es(transforme´edeFourier,operateursso-´ lutionsdecertainesequationsauxd´eriv´eespartielles...),soitdesespacescompliqu´es ´ (parexempleespacesdeBanach`avaleursvectorielles,telsque W 1 p ( R n ; L q ( R k ))). L’ide´eessentielleestquel’onpeutobtenirdesrenseignementssurdesespacesou desope´rateurs“interm´ediaires”enfonctionderenseignementssurdesespacesou
ope´rateurs“extr´emaux”;pourcomprendreceprincipeparuneanalogiee´l´ementaire, remarquons que l’on peut estimer les valeurs prises par une fonction convexe sur un segment [ a b ] ⊂ R , par la seule connaissance des valeurs de cette fonction en a et b . Nous ne parlerons ici que d’interpolation lin´eaire ,th´eorielaplusd´evelopp´eeet laplusutilis´ee.Ilexistecependantdestechniquesd’interpolationmultilin´eaire,et meˆmedestechniquesd’interpolationencoreplusge´ne´rale,cependantd’usagepeu commode. L’interpolationnedoitpasˆetreconsidereecommeunepanac´ee:c’estunetech-´ ´ niquetre`scommodeetassezuniverselle,maisquelquepeu“molle”;ilestrareque l’onarrivea`desre´sultatsoptimaux(enparticulierauniveaudesconstantesinterve-nantdansdesin´egalite´sdecontinuite´)parcettetechnique.Nousverronsquelques exemplesconfirmantcetter`egle. 1.2.De´finitions. Il est intuitif que les espaces L p (Ω) de Lebesgue pour p 0 ≤ p ≤ p 1 se situent “entre L p 0 et L p 1 ”.Danslecasou`Ωaunemesurefinie,c’estclair puisque les espaces L p formentunefamilled´ecroissanteenleparam`etre p ; mais commentformalisercetteide´edanslecasge´n´eral?Lamˆemequestionsepet` os res souventdemanie`renaturellequandonconsid`eredesfamillesd’espacesdeBanach de´pendantd’unoudeplusieursparam`etresre´els. Ils’av`erequel’onpeut,demani`eretr`esg´ene´rale,de´finirdesespacesdeBanach situ´es“entre”deuxespacesextreˆmesarbitraires,memes’ilsnefontpasapriori ˆ partied’unefamilleparame´tr´ ee. De´finition II-1 (couple d’interpolation) . On dit que deux espaces de Banach X et Y formentuncoupled’interpolationsitousdeuxs’injectentcontinuˆmentdans unmeˆmeespacevectorieltopologique(se´pare´) V . Exemple II-2 . TouslesespacesdeBanachc´el`ebresquenousavonsrencont´s re danslechapitrepr´ec´edents’injectentcontinˆumentdansl’espacedesdistributions, quenous´etudieronsauchapitresuivant. L’espace V apparaissantdanslaD´efinitionII-1importepeu;sonexistencesert uniquementa`garantirlapossibilite´dede´finirl’espacesomme X + Y , cadre naturel delathe´oriedel’interpolation.Uneconse´quencedelapropositionsuivanteestque l’onpeuttoujours,sanspertede´´lit´e,choisir V = X + Y . genera Proposition II-3 (espaces intersection et somme) . Soient X et Y des espaces de Banach formant un couple d’interpolation. Alors X ∩ Y et X + Y sont des espaces de Banach si on les munit des normes respectives k v k X ∩ Y = max( k v k X k v k Y ) k v k X + Y = inf ( k x k X + x + y = v k y k Y ) De plus X ∩ Y s’injectecontinˆumentdans X et Y ,quieux-meˆmess’injectentcontinˆument dans X + Y . De´monstration. Ilestfaciledeve´rifierquelesespacesainside´finissontbien desespacesvectorielsnorm´es;restea`montrerleurcompl´etude.Pourl’espace X ∩ Y , c’est clair : l’intersection de deux espaces complets est un espace complet. En ce qui concerne l’espace X + Y ,onpeutremarquerqu’ils’identifie`a( X × Y ) D ,
