Nombres complexes Definitions et operations

Sommaire
1 Nombres complexes 5
1.1 De nitions et operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 L’ensemble des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Operations fondamentales sur les nombres complexes . . . . . . . 5
1.1.3 Module d’un complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Representation geometrique des nombres complexes . . . . . . . . . . . 6
1.3 Racines n-iemes de l’unite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Polyn^ omes complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Resolution des equations du second degre . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Fondements axiomatiques de la theorie des nombres complexes (Hamilton,
1835) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Exercices sur les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Test de 30 mn sur les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Fonctions circulaires et fonctions circulaires reciproques 15
2.1 Fonctions : formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 Formules elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2 Formules d’addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.3 Formules de duplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.4 Formules de linearisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.5 Formules de factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.6 Formules relatives aux angles associes . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.7 Quelques valeurs particulieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Fonctions circulaires reciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Complements pour le calcul des arccos, arcsin, arctan de reels . . . . . . . . . 19
2.2.1 Comment calculer arccos x et arcsinx ? . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2t arctan x ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.3 Comment calculer cos(arccos x), sin(arcsin x) et tan(arctan x) ? . 20
2.2.4t arccos(cos x), arcsin(sin x) et arctan(tan x) ? . 20
2.2.5 Comment calculer(sinx) et arcsin(cos x) ? . . . . . . . . . 21
Exercices sur les fonctions circulaires et les fonctions circulaires reciproques . 22
Test de 30 mn sur les fonctions circulaires reciproques . . . . . . . . . . . . . 25
12 Sommaire
3 Fonctions exponentielles, logarithmiques et hyperboliques 27
3.1 Fonctions exponentielles et logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 F exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Fonctions logarithmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
x k3.4 Comparaison de la croissance des fonctions a , x et log (x) . . . . . . . 31a
3.5 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Exercices sur les fonctions exponentielles, logarithmes et hyperboliques . . . . 35
Test de 30 mn sur les fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4 Limites de fonctions et fonctions continues 39
4.1 Limite d’une fonction en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1.1 Quelques De nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1.2 Proprietes des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.1.3 Fonctions equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2.1 De nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2.2 Proprietes des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2.3 Fonctions continues strictement monotones sur un intervalle . . . 43
4.3 Derivees et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3.1 de nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3.2 utilisation des derivees pour le calcul des limites . . . . . . . . . 44
Exercices sur les limites de fonctions et les fonctions continues . . . . . . . . . 45
Test de 45 mn sur les limites de fonctions et les fonctions continues . . . . . . 48
5 Fonctions derivables et leurs derivees 49
5.1 De nitions et proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.1.1 de nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.1.2 proprietes des fonctions derivables et des derivees . . . . . . . . . 49
5.2 Calcul de derivees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.3 Formule des accroissements nis et applications . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3.1 Formule des accroissements nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.4 Derivees successives. Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4.1 derivees d’ordre superieur a 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4.2 formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4.3 Polyn^ omes de Taylor par rapport a 0 de fonctions usuelles . . . . 53
Exercices sur les fonctions derivables et leurs derivees . . . . . . . . . . . . . 55
Test de 30 mn sur les fonctions derivables et leurs derivees . . . . . . . . . . . 60
6 Primitives et integrales 61
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.2 De nitions et premieres proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.3 Liste des primitives usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.4 Methodes d’integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Sommaire 3
6.4.1 Integration par parties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.4.2 Changement de variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.4.3 Integration des fonctions trigonometriques. . . . . . . . . . . . . 64
6.4.4 Int des fractions rationnelles. . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Exercices sur les primitives et integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7 Equations di erentielles 73
7.1 Equations di erentielles lineaires a coe cien ts constants . . . . . . . . . 73
7.1.1 Equations homogenes du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . 73
7.1.2enes d’ordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.1.3 Equations inhomogenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.2 Equations di erentielles du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.2.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
07.2.2 Equation lineaire y = a(x)y + b(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.2.3 Exemples d’autres equations di erentielles . . . . . . . . . . . . . 80
Exercices sur les equations di erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Test de 30 mn sur les equations di erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Correction du test de 30 mn sur les nombres complexes . . . . . . . . . . . . 86 du test de 30 mn sur les fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . 87
Correction du test de 45 mn sur les limites de fonctions et les fonctions continues 89 du test de 45 mn sur les fonctions derivables et leurs derivees . . . 92
Partiel (Automne 2000) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Correction du partiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964 SommaireChapitre 1
Nombres complexes
1.1 De nitions et operations
1.1.1 L’ensemble des nombres complexes
2Il n’existe pas de nombre reel x qui soit solution de l’equation algebrique x +1 = 0. On a
introduit l’ensemble des nombres complexes pour donner des solutions a cette equation.
En fait les nombres complexes sont les solutions de toutes les equations algebriques de
degre n2 N a coe cien ts reels (et m^eme a coe cien ts complexes).
2Soit i, appele l’unite imaginaire, ayant la propriete i = 1. On peut considerer un
nombre complexe comme etant de la forme a + ib , ou a et b sont des reels.
Si z = a + ib, alors a est appelee la partie reelle de z (Re(z)) et b est appelee la partie
imaginaire de z (Im(z)).
Deux nombres complexes a + ib et c + id (ou a;b;c;d sont des reels) sont egaux si et
seulement si a = c et b = d. On peut considerer l’ensemble des nombres reels comme le
sous-ensemble des nombres complexes pour lequel b = 0. De plus si a = 0, le nombre
complexe 0 + ib ou ib est appele imaginaire pur.
Le nombre complexe conjugue d’un nombre complexe a + ib est a ib. Le nombre
complexe conjugue de z est note z.
Proposition 1.1.1 Soient z;z et z des nombres complexes. On a :1 2
z + z z z
z + z = z + z ; z z = z z ; Re(z) = et Im(z) = :1 2 1 2 1 2 1 2
2 2i
1.1.2 Operations fondamentales sur les nombres complexes
En e ectuan t des operations avec des nombres complexes on peut proceder de m^eme
2qu’avec les nombres reels en rempla cant i par 1.
1. Addition
(a + ib) + (c + id) = a + ib + c + id = (a + c) + i(b + d):
56 Chapitre 1. Nombres complexes
2. Soustraction
(a + ib) (c + id) = a + ib c id = (a c) + i(b d):
3. Multiplication
2(a + ib)(c + id) = ac + ibc + iad + i bd = (ac bd) + i(bc + ad):
4. Division
a + ib (a + ib)(c id) ac + bd bc ad
= = + i :
2 2 2 2c + id (c + id)(c id) c + d c + d
1.1.3 Module d’un complexe
Le module (ou la valeur absolue) d’un nombre complexe a + ib est de ni par :
p
2 2ja + ibj = a + b :
Si z;z et z sont des nombres complexes, on