Probabilités Pour le CAPES de Mathématiques
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Probabilités Pour le CAPES de Mathématiques
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Poribab´tilsePour leCAPES deMqieumetaath´s
1virenUpretnisfiitilabobrcsidse´sete` 2e´csnoidbobalitiestriPonnell 3iotafiserselbe´laVariaesni 4Variablesale´atoires`adensit´es Historiquement,lesvariablesale´atoires`adensit´essontapparuescommeapproximationsde variablesal´eatoiresfinies:approximationdelaloibinomialeparlaloinormale.Maisellesont leurinte´rtproprepoure´tudierdesquantite´scontinues. De´finition1(Variableale´atoirea`densite´) SoitXvaneutqueOndille.r´eeioere´taellairbaXl’iest´unevestbleaariaotri´laeneis`eda existe une fonctionfX´eedensit´edeleppa,X, continue par morceaux surRtelle que, pour tout a, b∈R, a≤bon a : Z b P(a≤X≤b) =PX([a, b]) =fX(x)dx. a AinsiXavenutsereoiat´ealleabrii’dee´tnla`idia’algr.ese´is’lnoa`edsntiulersalopeutcalc Commeuneprobabilite´esttoujourspositiveonende´duitqu’aupointdecontinuite´defX, fXest positive ou nulle. Les valeurs defXtndsdesioctnniiuensespoispantenneivretni’ne´t danslecalculdesinte´gralesdefXsur les segments deR. En pratique on peut donc supposer quefXest postive surRmeeeusntteopurjobabi.lCiotm´´reeap1ruosramojtquiueenonedd´ n´ecessairement,l’inte´graledelafonctionpositivefXsur toutRgearelveontces´tnietteC.etnegr impropreestmme´egale`a1carP(X∈R) = 1. Z a Sia=b,fX(x)dxbobaalrpe´uqlitie0,=ncdoXuqerbmoneuqnocleit´eso`aungale a fix´e`al’avanceestnulle!Ainsi,latouche”random”devotrecalulatricesimulelaloia`densit´e uniforme sur [0,te´avno’leuq]1deceustisnaltnad´emeecisrpr´udieatilchoueettetces.noisniA ”random” sort un nombreau hasardcompris entre 0 et 1. On se fixe d’abord, un nombre entre 1 1 0 et 1, celui que vous voulez, par exempleaousm.Jev=irtbnedfio’due´teasexactement 2 2 en appuyant sur votre touche ”random” autant de fois que vous voulez. Exercice:Relevezled´efi. Ainsi,unevariableal´eatoire`adensite´a`uncomportementtr´esdiff´erentd’unevariable al´eatoireneprenantqu’unnombrefinioud´enombrabledevaleurs.Unevariableale´atoirea` densit´eprendn´ecessairementuncontinumdevaleursre´elles. Onadonclesproprie´t´essuivantes: Propri´ete´s1(desdensite´s) SoitXdmetllealadetante´taella´reeioeruabrivanetisne´fX. On noteFXsa fonction de r´epartition,FX(x) :=P(X≤x)et:s.Onalespropri´et´essuivan
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