Rappels sur lim sup et lim inf
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Chapitre 2 Series entieres 2.1 Rappels sur lim sup et lim inf Exercice 2.1.1 Dans cet exercice, (un) designe une suite de reels. 1. Rappeler la definition de lim supun. 2. Pour chacune des suites (un) suivantes, calculer sa lim sup : a) un = (?1) n ; b) un = { cos(n) si n est pair 3n sinon ; c) un = en n! Dans les questions suivantes, on suppose que (un) est bornee. 3. Montrer qu'il existe une sous-suite de (un) qui converge vers lim sup(un). 4. Montrer que L = lim supun est caracterisee par la condition suivante : Pour tout ? > 0, l'ensemble des n tels que un ≥ L + ? est fini, et l'ensemble des n tels que un ≥ L? ? est infini. 5. Reprendre cet exercice avec la lim inf. Exercice 2.1.2 1. Soit (un)n≥0 et (vn)n≥0 deux suites bornees de reels. Etablir les propositions suivantes : lim sup (un + vn) ≤ lim sup n?∞ un + lim sup vn ; (?n ≥ n0, un ≤ vn)? lim supun ≤ lim sup vn.
Voir
- comportement au bord
- serie entiere
- voisinage
- meme comportement sur le bord du disque de convergence
- serie ∑
- rayon de convergence
Chapitre 2
S´eriesenti`eres
2.1 Rappelssurlim supetlim inf
Exercice 2.1.1Dans cet exercice,(un)deteuies.lseer´´dennusegi
1.Rappelerlade´finitiondelim supun.
2. Pourchacune des suites(un)suivantes, calculer salim sup: ( n cos(n)sinest paire n a)un= (−b)1) ;un= ;c)un= n 3sinonn! Dans les questions suivantes, on suppose que(un)estborn´ee. 3. Montrerqu’il existe une sous-suite de(un)qui converge verslim sup(un). 4. MontrerqueL= limsupunonactidiees´rlpatcarire´eactset:nousvina Pour toutε >0, l’ensemble desntels queun≥L+εest fini, et l’ensemble desntels queun≥L−εest infini. 5. Reprendrecet exercice avec lalim inf.
Exercice 2.1.2
1. Soit(un)n≥0et(vn)n≥0abEtrllipresosopoitisndeuxsuitesbro´needsree´le.s suivantes : lim sup (un+vn)≤lim supun+ lim supvn; n→∞ (∀n≥n0, un≤vn)⇒lim supun≤lim supvn. Donnerunexemplededeuxsuitespourlesquelleslapremi`ereine´galit´eest stricte.
2.Reprendrelaquestionpr´ec´edenteaveclalim inf.
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