Universite Lyon Annee Academique
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Universite Lyon 1 Annee Academique 2006/2007 MATH 1 Algebre Nombres complexes Exercice 1 1) Calculer les racines deuxiemes des nombres complexes a) z1 = 7 + 24i, b) z2 = 9 + 40i, c) z3 = 1 + i. 2) Resoudre dans C les equations suivantes: a) z2 = ?2 √ 3 + 2i, b) z2 = 3? 4i Exercice 2 Resoudre dans C les equations suivantes a) iz2 + (1? 5i)z + 6i? 2 = 0, b) 2z2 + (5 + i)z + 2 + 2i = 0 c) z2 ? (3 + 4i)z + 7i? 1 = 0, d) z2 ? (3 + 2i)z + 5 + 5i = 0 e) z2 ? 2z = 0 Exercice 3. Montrer que tout nombre complexe z 6= 1 de module 1 s'ecrit sous la forme x+ix?i , x ? R. Exercice 4. Calculer le module et un argument de z = 1+i √ 3 √ 3+i . Exercice 5. Resoudre de deux fac¸ons differentes l'equation z2 = √ 2 2 (1 + i). En deduire la valeur de cos pi8 et de sin pi8 .
Voir
- polynome en cos ?
- formule de moivre
- racine
- cos n?
- construction du pentagone regulier
- cercle unite
Universit´eLyon1 Anne´eAcad´emique2006/2007
MATH1Alg`ebre Nombres complexes
Exercice 1 1)Calculerlesracinesdeuxi`emesdesnombrescomplexes a)z1= 7 + 24i, b)z2= 9 + 40i, c)z3= 1 +i. 2)Re´soudredansCet:svinaioatsunseslqu´e 2 2 a)z=−2 3+ 2i, b)z= 3−4i
Exercice 2 Re´soudredansCsiuoanstaqnui´vesestel 2 2 a)iz+ (1−5i)z+ 6i−2 = 0, b) 2z+ (5 +i)z+ 2 + 2i= 0 2 2 c)z−(3 + 4i)z+ 7i−1 = 0, d)z−(3 + 2i)z+ 5 + 5i= 0 2 e)z−2z= 0
Exercice 3. x+i Montrer que tout nombre complexez6cr´esoitulods’e1=emed1sualofmr, x∈R. x−i Exercice 4. 1+i3 Calculer le module et un argument dez=. 3+i Exercice 5. Re´soudrededeuxfac¸onsdiffe´rentesl’´equation 2 2 z+= (1i). 2 π π Ende´duirelavaleurdecoset desin . 8 8 Exercice 6. n 1)De´terminerlaformetrigonom´etriquede(1+itout) pourn∈Nla formule de Moivre.). (Utiliser n n Ende´duireuneexpressionsimplede(1+i) +(1−i).
Exercice 7. Calculercos3θ(resp.sin3θ) en fonction decos θ(resp. desin θ.) EnutilisantlaformuledubinoˆmedeNewton k=n X n n kn−k (a+b) =b, a,a b∈C, k k=0 exprimercos nθetsin nθen fonction decos θetsin θ. 1
