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Universite Paris-Nord Annee 2011-2012 Institut Galilee MACS 3 Departement de Mathematiques C. Basdevant Corrige de l'examen d'Analyse Numerique du mercredi 9 novembre 2011 Duree : 3 h Aucun document autorise Probleme I - Stabilisation du pendule inverse On considere le systeme dynamique : x(t) = x(t) − u(t) ou x(t) ∈ R est l'etat du systeme et u(t) ∈ [−1, 1] le controle.
Voir
- formule classique
- differentes etapes de la resolution du probleme de controle
- commande optimale
- equation φ
- conditions de transversalite
- y1 −
- y2
- bang-bang
- bang bang
Universit´eParis-Nord InstitutGalile´e D´epartementdeMath
´ematiques
Corrig´edel’examen dumercredi9
d’Analyse novembre
Num´erique 2011
Dure´e:3h Aucundocumentautoris´e
Probl`emeI-Stabilisationdupenduleinverse´
Onconside`relesyste`medynamique:
x¨(t) =x(t)−u(t)
Ann´ee2011-2012 MACS 3 C. Basdevant
ou`x(t)∈Reettsel’´etatdusyst`emu(t)∈[−1,imrete´dalrenolrˆntcoutveOne.]1el commandeoptimalepourunretour`al’´equilibre(x(T) = 0, x˙ (T) = 0) en temps minimum. 2 1. En posantz=x+ ˙xdeontiluvoe´’dnoitauqe´’ltenformanetz, montrez que l’´equilibren’estpasatteignablesi|z(0)|>1.
2 dz2 Corrig´e: Un calcul simple donnez˙ =z−u, et donc = 2(z−uz), ce qui prouve dt 2 que si|z|>1,zsteoicransstdtelcnote´’udtatsysrstetuapenepe`emer`aourn l’origine. 2. Pour|z(0)|<1tinilaiomaczlnemieretd´milaeefnamdnoetpel’´etatonctiond (x(0), xstriaePon.Vougineudepicnidmuminimisilutusprleezer(˙emt`Voe.)d0)ysus montrerez que la commande optimale est bang-bang puis que pour une commande constante les trajectoires dans l’espace des phases sont des hyperboles d’asymptotes fixes.Vousdonnerezenparticulierl’´equationdelacourbedecommutation.
˙ Corrig´e: PosonsY= (x, xtse`emyd˙,)elysec’´tariminaesqusrolY= (Y2, Y1−u) et R T lecrit`ere`aminimiserJ(u) = 1dt. Le hamiltonien estH= 1 +p1Y2+p2(Y1−u). 0 t−t L’´equationdel’´etatadjointp˙ = (−p2,−p1itdu`a)noc,p¨2=p2etp2(t) =αe+βe. Laconditiondetransversalit´eautempsfinal(η= 0, τquelconque) donneH(T) = 0, et le temps n’intervenant pasH(t) = 0,∀t. La commande optimale minimisant le hamiltoniena`toutinstantonobtientu(t) = signe(p2(t)). Commep2s’annule au plusunefois,onend´eduitqu’unecommandeoptimaleestbang-bangavecauplus une commutation. Etudions alors les trajectoires dans l’espace des phases (Y1, Y2) pour une commande ˙ ˙ 2 constante.Dusyste`medynamiqueonobtientY2Y2= (Y1−u)Y1et doncY−(Y1− 2 2 u) =CavecCune constante arbitraire. Les trajectoires dans l’espace des phases 2 2 sont donc des hyperboles de centre (u,0), d’asymptotesY= (Y1−ud’axe) et 2 Y2= 0 siC <0 etY1=usiC >Lere1.afigusurlsee´tnese´rperemom,c0 ˙ sensdeparcourssede´duitdel’e´quationY1=Y2:Y1est croissant quandY2est positif.Onpeutalorsve´rifiergraphiquementler´esultatdelapremi`erequestion:si |Y1 +Y2|>uxtrajectoirespaslsaaon’tirigenl,seedleibredeurtor`neeli1mitsssop paruntelpointemm`enent`al’infini. Lacourbedecommutationestform´eedesdeuxportionsd’hyperbolescorrespondant
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