Concours Centrale Supélec
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Niveau: Elementaire
MATHÉMATIQUES II Concours Centrale-Supélec 2005 1/6 MATHÉMATIQUES II Filière TSI Soit le plan vectoriel muni du produit scalaire usuel et orienté par la base canonique . On notera l'origine du plan. Tout élément de peut s'interpréter comme un point de coordonnées dans le repère , ou comme un vec- teur de coordonnées dans la base . Pour deux vecteurs , de , on note alors leur produit scalaire et leur déterminant dans toute base orthonormale directe ; on désigne par l'ensemble des vecteurs de norme , et pour tout , on note le repère polaire, défini par : , . On rappelle qu'étant donnés et , la droite affine passant par et de vecteur directeur est l'ensemble des éléments de pouvant s'écrire , avec , c'est à dire : . On appelle alors axe du plan tout couple formé d'une droite affine , appelée support de , et d'un vecteur , vecteur directeur de de norme . Un axe est ainsi une droite affine orientée. Réciproquement, chaque droite affine définit deux axes d'orientations opposées : et . En notant l'ensemble des axes du plan , on va successivement : • construire un modèle cylindrique de et y analyser quelques situations de géométrie élémentaire, • étudier sur le cylindre représentant les transformations correspondant aux isométries du plan . IP IR2 i j( , ) o 0 0( , )= x y( , ) IP p x y( , ) o i j, ,( ) p x y( , ) i j( , ) u
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MATHÉMATIQUES II Concours Centrale-Supélec 2005 1/6 MATHÉMATIQUES II Filière TSI Soit le plan vectoriel muni du produit scalaire usuel et orienté par la base canonique . On notera l'origine du plan. Tout élément de peut s'interpréter comme un point de coordonnées dans le repère , ou comme un vec- teur de coordonnées dans la base . Pour deux vecteurs , de , on note alors leur produit scalaire et leur déterminant dans toute base orthonormale directe ; on désigne par l'ensemble des vecteurs de norme , et pour tout , on note le repère polaire, défini par : , . On rappelle qu'étant donnés et , la droite affine passant par et de vecteur directeur est l'ensemble des éléments de pouvant s'écrire , avec , c'est à dire : . On appelle alors axe du plan tout couple formé d'une droite affine , appelée support de , et d'un vecteur , vecteur directeur de de norme . Un axe est ainsi une droite affine orientée. Réciproquement, chaque droite affine définit deux axes d'orientations opposées : et . En notant l'ensemble des axes du plan , on va successivement : • construire un modèle cylindrique de et y analyser quelques situations de géométrie élémentaire, • étudier sur le cylindre représentant les transformations correspondant aux isométries du plan . IP IR2 i j( , ) o 0 0( , )= x y( , ) IP p x y( , ) o i j, ,( ) p x y( , ) i j( , ) u
- plan vectoriel
- rotation vectorielle d'angle
- point de coordonnées dans le repère
- cylindre représentant les transformations correspondant aux isométries du plan
- isométrie
MATHÉMATIQUES IIFilière TSI MATHÉMATIQUES II
2 SoitIPle plan vectorielIRmuni du produit scalaire usuel et orienté par la base canonique(i,j).
On noterao=(0,0)l’origine du plan. Tout élément(x,y)deIPpeut s’interpréter comme un pointpde coordonnées(x,y)dans le repère(o,i,j), ou comme un vec-teurpde coordonnées(x,y)dans la base(i,j). Pour deux vecteursu,v deIP, on note alors〈u|v〉 leurproduit scalaire et det(u,v); on désignedéterminant dans toute base orthonormale directe leur parUl’ensemble des vecteurs de norme1, et pour toutθ ∈IR, on note(u(θ),v(θ)) le repère polaire, défini par : u(θ)= cosθi+ sinθj,v(θ)sin= –θi+ cosθj.
On rappelle qu’étant donnésm∈IPetw∈IP\{0}, la droite affine passant parm et de vecteur directeurwest l’ensembleddes éléments deIPpouvant s’écrire m+λw, avecλ ∈IR, c’est à dire : d=m+IRw={p∈IP∃λ ∈IR,p=m+λw}. On appelle alorsaxedu planIPtout coupleδ=(d,w)formé d’une droite affine d, appelée support deδ, et d’un vecteurw, vecteur directeur dedde norme1. Un axe est ainsi une droite affine orientée. Réciproquement, chaque droite affineddéfinit deux axes d’orientations opposées :(d,w)et(d,–w).
En notantΔl’ensemble des axes du planIP, on va successivement : • construireun modèle cylindrique deΔet y analyser quelques situations de géométrie élémentaire, • étudiersur le cylindre représentantΔtransformations correspondant les aux isométries du planIP.
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MATHÉMATIQUES II Filière TSI
Filière TSI
Partie I - Modèle cylindrique de l’ensemble des axes du plan 3 On noteIEl’espace vectorielIR, muni du produit scalaire usuel et orienté par la base canonique(I,J,K). Dans tout le problème, les lettres minuscules dési-gneront les objets relatifs àIPvecteurs, droites, coordonnées), tandis (points, que les majuscules concerneront les objets relatifs àIE; on notera ainsi(x,y)les coordonnées des éléments deIPdans la base(i,j)et(X,Y,Z)celles des éléments deIEdans la base(I,J,K). I.A -Caractériser l’ensembleC=U×IRune équation cartésienne en par (X,Y,Z), puis montrer queCest un cylindre de révolution deIEdont on pré-cisera l’axe de révolution, les génératrices et les parallèles. I.B -I.B.1) Onconsidère un axeδ=(d,w)défini parm∈IPetw∈U, en posant : d=m+IRw. Montrer que lorsquep décritla droited, le réeldet(p,w) resteconstant ; on noterahsa valeur. δ Interpréter géométriquement ce réelh àl’aide du projeté orthogonalm de δ0 l’origineosurd. Montrer quem= –h r(w)oùrest la rotation vectorielle d’angle+π ∕2. 0∕δ π2π ∕2 I.B.2) Soientw=u(θ) pourθ ∈IR, etk∈IR; considérant l’axeδ=(d,u(θ)) avec : d= –kv(θ)+IRu(θ), calculerhet caractériserdpar une équation cartésienne en(x,y). δ I.B.3) Montrerque l’applicationH:δ=(d,w)a(w,h)une bijection définit δ entreΔet le cylindreC. –1 C SoitM=(w,k)∈; indiquer par un schéma la construction deδ=H(M)à partir dewetkdans le cask>0.
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MATHÉMATIQUES IIFilière TSI À chaque axeδdeΔest ainsi associé bijectivement un point deC. Le cylindre C, image deΔparH, devient ainsi une représentation de l’ensemble des axes. On se propose dans le reste de cette partie de déchiffrer sur cette représentation quelques propriétés géométriques relatives aux axes du planIP. I.C -Chaque partie du cylindreCest l’image par la bijectionHd’une partie de Δ. Caractériser précisément en termes géométriques les ensembles des axes du planIPcorrespondant respectivement : • àune génératrice deC; • àl’ensembleU× {0}; • àun parallèle deC. I.D -I.D.1) Soit,dans le planIP, la rotationrde centreoet d’angleω ∈IRqui se confond avec la rotation vectorielle d’angleω. Pour tout axeδ=(d,w), on consi-dère alors l’axe(r(d),r(w)), que l’on noter(δ). On définit ainsi une applicationr deΔdansΔet il en résulte une applicationRdeCdansCqui àM=H(δ) associeR(M)=H(r(δ)). Montrer queh=h. r(δ) δ En déduire queRcorrespond à la restriction àCd’un endomorphismeRde l’espace vectorielIE. On précisera cet endomorphisme et on en donnera la matrice dans la base(I,J,K). I.D.2) Oncondidère l’application deCdansCobtenue par restriction àC de la symétrieS decentreO=(0,0,0)avec l’endomorphisme (confondue –1 Ua–UdeIE). Par l’intermédiaire deH, il lui correspond une applicationσ deΔdansΔ. Déterminer cette application ; provient-elle d’une isométrie deIP, comme c’était le cas pour l’applicationrde la question I.D.1 ? I.E -Pourα >0, on considère le pointa=(α,0)deIPet on appellefaisceaudes axes passant paral’ensembleΔdes axes dont le support passe para; on veut a déterminer l’ensembleH(Δ). a I.E.1) Caractériserpar une relation entreketθles éléments(u(θ),k)deC appartenant àH(Δ). a I.E.2) Montrerque(Δa)est l’intersection deCet d’un plan vectoriel deE. H I.E.3) Établirque l’ensembleH(Δ)est une ellipse dont on précisera le cen-a tre, l’axe focal, le demi-grand axe, le demi-petit axe, la distance focale et l’excen-tricité.
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MATHÉMATIQUES IIFilière TSI I.E.4) Représentersur un même schéma cette ellipse ainsi que l’intersection deCavec le planXOY. I.F -I.F.1) Soitmaintenantmun point quelconque deIPetΔle faisceau des m axes passant parm; déduire des questions précédentes la nature et la position de l’ensembleH(Δ). m I.F.2) Réciproquement,étant donné un plan vectorielPdeIE, préciser selon –1 la direction dePla nature de l’ensembleH(P∩C). I.F.3) Soientδ,δ,δaxes caractérisés respectivement par les rela- trois 1 2 3 tionsH(δ )=(u(θ),k). i ii Démontrer que leurs supports sont tous concourants ou tous parallèles si et seu-lement si : ksin(θ–θ )+ksin(θ–θ )+ksin(θ–θ )= 0. 1 32 21 33 21 I.G -On appellecycleγdeIPtout cercle deIPorienté par une paramétrisation ; un axeδesttangentà ce cycle si son support est tangent au cercle correspon-dant, avec des orientations deδetγconcordantes. I.G.1) SoitPplan vectoriel de unIE etλ ∈IR; on considère le plan affine Q=P+λKobtenu par translation du planP, de vecteurλK. Montrer que ce procédé fournit tous les plans affines deIE àl’exception d’un ensemble de plans que l’on précisera. I.G.2) Onconsidère un tel plan affineQ=P+λK, non vectoriel c’est-à-dire ne contenant pas l’origineO=(0,0,0). C Démontrer queQ∩est l’image parHde l’ensemble des axes tangents à un cycle que l’on précisera. SiQcoupe la droiteOZenΩ, que représente la distanceOΩ? Préciser la nature géométrique de l’ensembleQ∩C. I.G.3) Montrerque réciproquement, tout cycle deIP peutêtre associé à un plan affine deIE. I.G.4) Soit(a,b,c)un triangle du planIP; en orientant les droites(ab),(bc) et(ca)par les vecteursab,bcetca, on obtient trois axes représentés par trois points du cylindreC. Montrer que ces trois points deCdéfinissent un plan affineQdeIE, associé à un cycleγdeIPcomme en I.G.2 et I.G.3. Quelle est la particularité de ce cycle relativement au triangle(a,b,c)?
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MATHÉMATIQUES IIFilière TSI Partie II - Transformations de l’ensemble des axes du plan II.A -On considère dans cette question la translationt deIP, de vecteur τ=αi+βjnon nul. À tout axeδ=(d,w), on associe l’axeδ′=(t(d),w)que l’on notet(δ). On définit ainsi une applicationtdeΔdansΔdont on déduit une applicationTdeCdansCqui àM=H(δ)associeT(M)=H(t(δ)). II.A.1) Enreprenant les notations de la question I.B, exprimerhen fonction δ′ deh,wetτ. δ C II.A.2) MontrerqueTd’un endomorphismecorrespond à la restriction à Tde l’espace vectorielIEdont on donnera la matrice dans la base(I,J,K). II.A.3) Montrerque l’ensemble des vecteurs deIEpar invariantsTun est plan vectorielPque l’on précisera. L’endomorphismeTest-il diagonalisable ? –1 C II.A.4) Déterminerl’ensembleH(P∩ )et indiquer ce qu’il représente vis-à-vis de la translationt. II.B -Soitϕun automorphisme orthogonal deIP. À toutδ=(d,w), on associe ϕ(δ)=(ϕ(d),ϕ(w)), ce qui définit une applicationϕdeΔdansΔ, puis l’applica-tion deCdansCqui àassocie . ΦM=H(δ) Φ(M)=H(ϕ(δ)) C II.B.1) MontrerqueΦd’un endomorphismecorrespond à la restriction à Φdont on exprimera la matrice dans la base(I,J,K)à l’aide de la matriceN deϕdans la base(i,j). II.B.2) Soitmaintenantϕune symétrie orthogonale par rapport à une droite vectorielleddeIP. L’endomorphismeΦdeIEest-il diagonalisable ? 0 CaractériserΦen termes géométriques. Pour chaque sous-espace propreIEde i –1 iC Φ, interpréterH(IE∩ )vis-à-vis de la symétrieϕ. II.C -On rappelle que toute isométriefdeIPpeut s’écrire de manière unique sous la formef=toϕoùtetϕsont respectivement une translation et un auto-morphisme orthogonal deIP; avec les notations des questions II.A et II.B, on pose alors :f=toϕ,F=ToΦetF=ToΦ. II.C.1) Montrerque l’endomorphismeFainsi obtenu a dans la base(I,J,K) une matrice de la forme : 0 N , 0 λ µ detN oùN désigneune matrice réelle orthogonale d’ordre2 et(λ,µ)couple de un réels. Exprimer le vecteurλi+µjà l’aide deα,β,i,jetϕ. Concours Centrale-Supélec 20055/6
MATHÉMATIQUES IIFilière TSI II.C.2) Àquelle condition, portant surN,λetµ,Fest-il diagonalisable ? Déterminer les isométriesfcorrespondantes. II.D -On veut maintenant étudier si d’autres endomorphismesFdeIEpour-–1 C raient correspondre, par restriction àet par l’intermédiaire deH, à d’autres transformations deIP. II.D.1) Démontrerque toute homothétie deIP, de centreoet de rapportk>0 correspond bien par les procédés utilisés précédemment à un endomorphisme de IEdont on donnera la matrice. II.D.2) SoitFun automorphisme deIEtel queF(C) ⊂C. Montrer que les projections orthogonales deF(I)etF(J)sur le planXOYsont orthonormées. En déduire queFa dans la base(I,J,K)une matrice de la forme : 0 N , 0 λ µν oùNdésigne une matrice réelle orthogonale d’ordre2et(λ,µ, ν)un triplet de réels. II.D.3) Établirque les endomorphismesF deIE, tels queF(C) ⊂Cde et déterminant strictement positif, correspondent aux similitudes deIP. II.D.4) Quefaut-il penser de ce point de vue des endomorphismes deIEtels C C queF⊂( )et de déterminant strictement négatif ?
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