Espaces Vectoriels et applications linéaires
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Espaces Vectoriels et applications linéaires Exercice 1 : 1°) Déterminer une base des droites vectorielles de 2R suivantes: 1D 0=+ yx ; 2D 032 =+ yx ; 3D xy 3= 2°) a) Déterminer une base des droites vectorielles de 3R suivantes : 1D ?? ? =?+ =+ 02 0 zyx yx ; 2D ?? ? =?+ =++ 02 02 zyx zyx ; 3D ?? ? =?+ =?+ 0 02 zyx zyx b) Déterminer une base des plans vectoriels de 3R suivants : 1P 02 =?+ zyx ; 2P 0=+ yx ; 3P 02 =++ zyx ; 4P 0=x c) Déterminer 21 PP ? , 31 PP ? et 41 PP ? . Exercice 2 : 1°) On pose kjiu ???? 34 ++= , kjv ??? += 2 et kjiw ???? ?+= 3 . Montrer que ( )wvu ??? ,, est une base de R3. 2°) kjiu ???? +?= , kjv ??? 2+?= et kjiw ???? 32 +?= a) La famille ( )wvu ??? ,, est-elle une base de R3 ? b) Soit F, le sous espace vectoriel engendré par ( )wvu ??? ,, .
Voir
- ?? ?
- zyx
- ?1 dans la base ?
- ?? ??
- base des droites vectorielles
- matrice dans la base canonique
- application linéaire de r2 dans r2
Espaces Vectoriels et applications linéaires
Exercice 1 :
1°) Déterminer une base des droites vectorielles de
2
R
suivantes:
1
D
0
=
+
y
x
;
2
D
0
3
2
=
+
y
x
;
3
D
x
y
3
=
2°)
a) Déterminer une base des droites vectorielles de
3
R
suivantes :
1
D
=
-
+
=
+
0
2
0
z
y
x
y
x
;
2
D
=
-
+
=
+
+
0
2
0
2
z
y
x
z
y
x
;
3
D
=
-
+
=
-
+
0
0
2
z
y
x
z
y
x
b) Déterminer une base des plans vectoriels de
3
R
suivants :
1
P
0
2
=
-
+
z
y
x
;
2
P
0
=
+
y
x
;
3
P
0
2
=
+
+
z
y
x
;
4
P
0
=
x
c) Déterminer
2
1
P
P
∩
,
3
1
P
P
∩
et
4
1
P
P
∩
.
Exercice 2 :
1°) On pose
k
j
i
u
3
4
+
+
=
,
k
j
v
+
=
2
et
k
j
i
w
-
+
=
3
.
Montrer que
(
29
w
v
u
,
,
est une base de
R
3
.
2°)
k
j
i
u
+
-
=
,
k
j
v
2
+
-
=
et
k
j
i
w
3
2
+
-
=
a) La famille
(
29
w
v
u
,
,
est-elle une base de
R
3
?
b) Soit
F
, le sous espace vectoriel engendré par
(
29
w
v
u
,
,
. Donner une base de
F
.
c) Soit
(
29
{
}
0
2
,
,
,
3
=
+
+
∈
=
z
y
x
R
z
y
x
G
, montrer que
F
=
G
.
Exercice 3 :
Soient
(
29
4
3
2
1
,
,
,
u
u
u
u
quatre vecteurs de
R
3
. De coordonnées respectives :
-
=
1
2
1
1
X
,
-
=
1
0
1
2
X
,
-
=
1
4
1
3
X
et
-
-
=
3
4
3
4
X
.
dans la base canonique de
R
3
.
1°) La famille
(
29
3
2
1
,
,
u
u
u
est-elle une base de
R
3
et déterminer
(
29
3
2
1
,
,
u
u
u
Vect
?
2°) La famille
(
29
4
2
1
,
,
u
u
u
est-elle une base de
R
3
et déterminer
(
29
4
2
1
,
,
u
u
u
Vect
?
3°) En déduire que ces quatre vecteurs appartiennent à un même plan dont on donnera une base.
Exercice 4 :
Soit
2
2
:
R
R
p
→
l’application linéaire dont la matrice dans la base canonique est :
=
1
2
2
4
5
1
P
1°) Montrer que
p
est une projection.
2°) Déterminer le noyau et l’image de
p
. En déduire les éléments caractéristiques de
p
.
3°) Soit
-
=
1
2
2
1
Q
, calculer
1
-
Q
.
4°) Calculer
PQ
Q
1
-
Exercice 5 :
Soit
2
2
:
R
R
s
→
l’application linéaire dont la matrice dans la base canonique est :
-
=
1
2
4
1
3
1
S
1°) Montrer que
s
est une symétrie.
2°) Déterminer l’ensemble des vecteurs invariants de
s
et
(
29
id
s
Ker
+
. En déduire les éléments
caractéristiques de
s
.
3°) Soit
-
=
1
1
1
2
Q
, calculer
1
-
Q
.
