A MATH I MP
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Niveau: Supérieur
A 2011 MATH. I MP ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI). CONCOURS 2011 PREMIÈRE ÉPREUVEDEMATHÉMATIQUES FilièreMP (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : CYCLE INTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
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A 2011 MATH. I MP ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI). CONCOURS 2011 PREMIÈRE ÉPREUVEDEMATHÉMATIQUES FilièreMP (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : CYCLE INTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
- matrice nulle
- somme directe
- base de cn
- ensta paristech
- endomorphisme
- endomorphisme de cn canoniquement
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A 2011MATH. I MP
COLE DES PONTS PARISTECH, SUPARO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TLCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-TIENNE, MINES DE NANCY, TLCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIREMP), COLE POLYTECHNIQUE (FILIRETSI).
CONCOURS 2011
PREMIRE PREUVE DE MATHMATIQUES
Filire MP
(Dure de l’preuve : 3 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis À la disposition des concours : CYCLEINTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont pris de mentionner de faÇon apparente sur la premire page de la copie :
MATHÈMATIQUES I - MP.
L’nonc de cette preuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l’preuve, un candidat repre ce qui lui semble tre une erreur d’nonc, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen À prendre.
CritÈre de diagonalisation de KlarÈs
Soitnun entier naturel non nul etMn(C) l’espace vectoriel des matrices carres d’ordrenÀ coefficients complexes. On noteOnla matrice nulle etInla matrice identit deMn(C). Latraced’une matriceUdeMn(C) est notetr(U). On dit que deux matricesUetVdeMn(C)commutentsiU V=V U. Une matrice k NdeMn(C) est ditenilpotentes’il existe un entierk>0 pour lequelN=On. Dans tout le problme, on considre une matriceAdeMn(C) et on notef n l’endomorphisme deCcanoniquement associ, c’est-À-dire l’endomorphisme n dont la matrice dans la base canonique deCestA. Le polynÔme caractristique deAest notPet les valeurs propres complexes distinctes deAsont notes λ1,λ2, . . . ,λr. Pour touti∈{1, . . . ,r} on note : •αil’ordre de multiplicit de la valeur propreλi, c’est-À-dire l’ordre de multiplicit de la racineλidu polynÔmeP; α i •Pile polynÔme dfini parPi(X)=(λi−X) ; ³ ´ ¡ ¢ nαi •File sous-espace vectoriel deCdfini parFi=Kerf−λiIdC; n •fil’endomorphisme deFiobtenu par restriction defÀFi.
La partie B, À l’exception de la question 11), est indÉpendante de la partie A. La partie C est indÉpendante des parties prÉcÉdentes.
A. Dcompositionde Dunford n 1)Justifier que l’espace vectorielCest somme directe des espacesFi: r M n C=Fi. i=1 n 2)En considrant une base deCadapte À la somme directe prcdente, montrer que pour touti∈{1, . . . ,r}, le polynÔme caractristique defiest Pi. (On pourra d’abord tablir quePiest un polynÔme annulateur defi.) 0 3)Montrer qu’il existe une matrice inversiblePdeMn(C) telle queA= −1 P APsoit une matrice dfinie par blocs de la forme suivante : I+N0∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙0 λ1α11 . . . . 0 ... 0. . . .. A=. .. . . . . . . .. 0 λI+ 0∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙0rαrNr oÙNi∈Mα(C) est nilpotente pour touti∈{1, . . . ,r}. i
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4)En dduire que la matriceAs’crit sous la formeA=D+N, oÙDest une matrice diagonalisable etNune matrice nilpotente deMn(C) qui commutent. Les matricesDetNvrifiant ces conditions constituent ladÉcomposition de Dunfordde la matriceA. Dans toute la suite du problme, on admettra l’unicitÉ de cette dcomposition, c’est-À-dire queDetNsont dtermines de faÇon unique parA. Un exemple pour n=3: 3−1 1 5)Calculer la dcomposition de Dunford deA=1 .2 0 1−1 2
B. Commutationet conjugaison Pour toute matriceBet toute matrice inversiblePdeMn(C), on notecommB et conjles endomorphismes deMn(C) dfinis par : P ( commB(X)=B X−X B ∀X∈Mn(C), −1 conj (X)=P X P. P Le but de cette partie est de dmontrer queAest diagonalisable si et seulement si commAest diagonalisable. 6)Soit culerconj−1◦comm◦c. Pune matrice inversible deMn(C). CalP AonjP Pour tousi,j∈{1, . . . ,n}, on noteEi,jla matrice deMn(C) dont tous les coeffi-cients sont nuls, sauf celui situ À l’intersection de lai-me ligne et de laj-me colonne qui est gal À 1. 7)SiAest une matrice diagonale, montrer que pour tousi,j∈{1,2, . . . ,n}, commAadmetEi,jcomme vecteur propre. Dterminer l’ensemble des valeurs propres de commA. 8)En dduire que siAest diagonalisable, commAl’est aussi. 9)Montrer que siAest nilpotente,commAl’est galement, c’est-À-dire qu’il k existe un entierk>0 pour lequel (commAl’endomorphisme nul) est deMn(C). 10)Montrer que siAest nilpotente, et sicommAest l’endomorphisme nul, alorsAest la matrice nulle. D’aprs la partie A, l’endomorphismecommAadmet une dcomposition de Dunford de la formecommA=d+n, oÙ les endomorphismes diagonalisabled et nilpotentncommutent :d n=nd. 11)Dterminer la dcomposition de Dunford decommAÀ l’aide de celle deA et conclure.
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C. Formesbilinaires sur un espace vectoriel complexe Soitpun entier>0 etEun espace vectoriel de dimensionpsurC. On note ∗ Ele dual deE, c’est-À-dire l’espace vectoriel des formes linaires surE. On considre une forme bilinaire symtriquebsurC, c’est-À-dire une appli-cationb:E×E−→ClinÉaire par rapport À chacune de ses deux composantes(et non sesquilinaire par rapport À la deuxime) et telle queb(x,y)=b(y,x) pour tousx,y∈E. SiFest un sous-espace vectoriel deE, on appelleorthogonal deF relativement À ble sous-espace vectoriel deEdfini par © ª ⊥ b F=x∈E;∀y∈F,b(x,y)=0 . ⊥ b On suppose quebestnon dÉgÉnÉrÉe, c’est-À-dire queE={0}. 12)Soituun endomorphisme deE. Dmontrer les implications suivantes : 2 (i)uest diagonalisable=⇒(ii) Keru=Ker (u)=⇒(iii) Keru∩Imu={0}. SoitFun sous-espace vectoriel deE, de dimensionq, et soit (ε1,ε2, . . . ,εq) une base deF. Pour touti∈{1, . . . ,q}, on noteϕila forme linaire surEdfinie par ϕi(x)=b(εi,x). ∗ 13)Montrer que (ϕ1,ϕ2, . . . ,ϕq) est une famille libre deE. ∗ On complte cette famille libre en une base (ϕ1,ϕ2, . . . ,ϕp) deEet on note (e1,e2, . . . ,ep) la base deE antÉduale(dont (ϕ1,ϕ2, . . . ,ϕp) est la base duale). ⊥ b 14)Montrer queFest engendr par (eq+1,eq+2, . . . ,ep), et en dduire la ⊥ b valeur de dimF+dim(F).
D. Critrede Klars Le but de cette partie est de dmontrer que la matriceAest diagonalisable si ¡ ¢ 2 et seulement si Ker(commA)=Ker (commA) . 15)Montrer que l’applicationϕdeMn(C)×Mn(C) dansC, dfinie par la for-muleϕ(X,Y)=tr(X Y) pour tousX,Y∈Mn(C), est une forme bilinaire symtrique non dgnre. ¡ ¢ ⊥ϕ 16)Ker (commtablir l’galitA)=Im (commA). 17)En dduire que siAest nilpotente, il existe une matriceXdeMn(C) telle queA=comm (X). Calculer alors comm(X) pour to A A+λInutλ∈C. SoitDetNles matrices de la dcomposition de Dunford deAdfinies À la question 4). 18)Dmontrer qu’il existe une matriceXdeMn(C) telle queN=commA(X). 19)Conclure. FIN DU PROBLME
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