Algebre et Arithmetique Mathematiques L3
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Algebre et Arithmetique Mathematiques L3 Universite de Nice Sophia-Antipolis Annee 2008-2009 FEUILLE DE TRAVAUX DIRIGES 7 ESPACES VECTORIELS QUOTIENTS ET ANNEAUX QUOTIENTS 1. Anneaux Definition 1 (Anneau). Un anneau (A,+, .) est un ensemble A muni de deux lois de composition internes +, . : G?G? G telles que • (A,+) est un groupe abelien, • la loi . est associative, • la loi . est distributive par rapport a la loi +, i.e. pour tout a, b, c ? A on a a.(b+ c) = a.b+ a.c et (a+ b).c = a.c+ b.c. Si la loi . admet un element neutre, on parle d'anneau unitaire. Si la loi . est commutative, on parle d'anneau commutatif. Un element de A est dit inversible s'il l'est pour la loi . de A. Le neutre de la loi + est souvent note 0 et le neutre de la loi . est souvent note 1. Definition 2 (Anneau integre). Un anneau est dit integre s'il n'a pas de diviseur de zero, i.e. si a.b = 0 alors a = 0 ou b = 0.
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Algebre et Arithmetique Mathematiques L3 Universite de Nice Sophia-Antipolis Annee 2008-2009 FEUILLE DE TRAVAUX DIRIGES 7 ESPACES VECTORIELS QUOTIENTS ET ANNEAUX QUOTIENTS 1. Anneaux Definition 1 (Anneau). Un anneau (A,+, .) est un ensemble A muni de deux lois de composition internes +, . : G?G? G telles que • (A,+) est un groupe abelien, • la loi . est associative, • la loi . est distributive par rapport a la loi +, i.e. pour tout a, b, c ? A on a a.(b+ c) = a.b+ a.c et (a+ b).c = a.c+ b.c. Si la loi . admet un element neutre, on parle d'anneau unitaire. Si la loi . est commutative, on parle d'anneau commutatif. Un element de A est dit inversible s'il l'est pour la loi . de A. Le neutre de la loi + est souvent note 0 et le neutre de la loi . est souvent note 1. Definition 2 (Anneau integre). Un anneau est dit integre s'il n'a pas de diviseur de zero, i.e. si a.b = 0 alors a = 0 ou b = 0.
- anneau
- coordonnees canoniques de r2
- morphisme d'anneau
- pi ?
- ideal maximal
- morphisme d'anneaux ?
- anneaux z
NOM : PRENOM :
Date : Groupe :
Mathe´matiquespourlaBiologie:Feuille-r´eponsesduTD7 Equationsdiff´erentielles:m´ethoded’Euleretcomple´ments
. .
Exercice 1.:nOel’´evolmod`elispopataluoituledninledeesndiobaestnqitaale´na’lcorlauepa dynamique suivante : y 0 y= 0,08y(1−). 400000 1.Dequeltypedemod`eles’agit-il?Querepr´esententlesconstantes0,08 et 400000?
2.Al’issued’unelonguepe´riodedesurexploitation,onestimequel’effectifdecettepopulationde baleineesttombe´a`70000.Ensupposantqu’oninterditalorssonexploitation,calculer,aumoyende lam´ethoded’Euler,uneapproximationdesone´volutiony0,y1,y2, ....en prenant un pas de temps 0 h’Eederulurpo´el’tauqnoi=1.Onrappleeluqlemae´htdoy=f(yti:e’´sr)c tn=tn−1+h (1) yn=yn−1+hf(yn−1). Indiquervotrere´ponsepuispre´sentersuccintementlescalculsquivousyontconduit: y0= 70000, y1=y.......... ,2=...............
3. Quepouvez-vous dire de limn→∞yn?
1
4.Onsupposequel’onautoriseunquotadepe`chedehsteequminaqeeualyd-ta`d-ri000,c’es=3 alors y 0 y= 0,08y(1−)−3000. 400000 Indiquerquelssontlese´quilibresdecettedynamiqueetpr´eciserleurstabilite´.
5.Qu’advient-ila`lapopulationdebaleinesdanscecas(etseloncemode`le)sachantquey?(0) = 70000
6.Reprendreles3dernie`resquestionsensupposantcettefoisqu’audeladuquotal´egallesactivite´s dep`echeillicitesportentlepre´le`vementsurlaressourcede3000`a5000.
Exercice 2.:ednoe´’ltauqdnoi´eiffntrellieecllurenuaepporixmationdelasolutinOert´ins’ca`asees dy(t) 2 = 18y(t) de condition initiale y(0)=-0,1. dt ∗ 1.V´erifierparlecalculquey(t) =yrudeuastnalgfi,enutilibre)puisqe´(iliuulosnoites=0netu champdevecteurassocie´,expliquerpourquoiunesolutiondecette´equationdeconditioninitiale positive(resp.ne´gative)restepositive(resp.n´egative)pourtoutt >0. Indiquer sur la figure l’allure quedevraitavoira`votreavislasolutionconside´re´e.
Champ de vecteurs de y'=18y^2 1
y 0.5
0 ±1 12 3 4 x ±0.5
±1
02 Fig.hampsdev1–Lecelitlereneontiff´di’´aluaeqcoss`e´ietceasruy= 18y.
2
2. Calculerles 4 premiers termes de l’approximation d’Euler de la solution de condition initialey(0) = −0,1 en prenant h=1.
3.Comparerlesre´sultatsdesdeuxquestionspr´ece´dentes.Qu’enpensez-vous?
Exercice 3.:deuiruqmAe´assedruegavaretcl’dersieumbanspiLachenilledel’´pecie´eatsnunies nordquiest`al’originederavagesimportantsparde´foliationlorsdesespullulations.Ladynamiquedela populationdeschenilles,propos´eeparLudwig,JonesetHollingen1978,estrepr´esente´eparl’e´quation diffe´rentiellesuivante: 2 dy(t)y(t) 4by(t) =ry(t) 1− −(2) 2 2 dt4a a+ 4y(t) o`uy(tes`anillstanl’inlutapapoceehoidngnsiatelllaieledte´d)tu`oter,aetbrapaestds.Lreeetm`nos 2 by terme2lapupolaures´ercsellinehcednoitdemr´rpeutseetenuimod´eledationqssoienexsilepaer a2 +y 4 parunoiseauquiestsonprincipalpre´dateur(bptseoporiortelnnla`ailtaelecttpepolutaoind’oiseaux). 1. Supposons queboC.0=’atsenmmceleelppedomytepdena`dleaspasceculierticesencr(ab depr´edateurs)?Indiquercequerepre´sentelesconstantesretaet quel serait, dans ce cas, le comportement de la population de chenilles.
3
2 4b 2.De´signonsparf(y) la fonctionf(y) =ry(1−)−2 2rostLe.suivanteisfiguresneettnrspe´rse 4a a+4y les graphes deflorsquer= 0,1 etbetr`e2=op00rsdialeuoisvurtrramadspuneet´ffrea. Dans chacundescas,liresurcesgrapheslenombred’´equilibresdeladynamique,enindiquantleurvaleurs approximatives,puis,toujourssanscalcul,pre´ciserleurstabilit´e.
40 f 20
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 y
-20
-40
a= 1700
40 f 20
0 2000 4000 6000 8000 y -20
-40
a= 2150
60
40 f 20
0 2000 4000 6000 800010000 y -20
a= 2500
3. Supposonsque la population initiale de chenilles soity(0) = 1000. Indiquer, dans chacun des trois caspr´ec´edentsquelcomportementlemod`elepr´evoitpourcettepopulation.Avotreavis,l’und’eux me´rite-t-illenomdepullulation?
4.Danscetypedemode`le,latailledelapopulationpourrait-elletendreversl’infini(siparexemple sa valeur initialey(t)etnuoP?ouqr?itr`etaitortasimp)e´
4
