Concours Centrale Supélec
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2003 1/6 MATHÉMATIQUES I Filière MP Dans tout le problème désigne un intervalle non majoré de . Le but du problème est l'étude des solutions de l'équation différentielle : où est une application continue définie sur et à valeurs réelles ou complexes. On verra que l'espace des solutions contient une solution ayant un compor- tement particulier en . Les parties I et II portent sur deux exemples. La partie III met en place l'appli- cation dans un cadre général. Les Parties IV à VI envisagent diverses propriétés de la fonction et sont largement indépendantes. Les symboles et désignent respectivement les corps des nombres réels et des nombres complexes. Partie I - Étude d'un premier exemple I.A - Pour , montrer l'existence et donner la valeur des expressions suivantes : I.B - On considère l'équation différentielle , Déterminer une fonction bornée et une fonction telles que la solution géné- rale sur de cette équation différentielle puisse se mettre sous la forme , où Donner sans démonstration le résultat analogue relatif à l'équation différen- tielle . I.C - Soit le plan vectoriel engendré par les fonctions cosinus et sinus dans l'espace vectoriel des fonctions de dans , c'est-à-dire l'ensemble des fonc- tions de la forme I IR Ef y? y f x( ) 0=+– f I f 1 +∞ ?: f f 1a f IR IC x IR? ex e t– t cos t
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MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2003 1/6 MATHÉMATIQUES I Filière MP Dans tout le problème désigne un intervalle non majoré de . Le but du problème est l'étude des solutions de l'équation différentielle : où est une application continue définie sur et à valeurs réelles ou complexes. On verra que l'espace des solutions contient une solution ayant un compor- tement particulier en . Les parties I et II portent sur deux exemples. La partie III met en place l'appli- cation dans un cadre général. Les Parties IV à VI envisagent diverses propriétés de la fonction et sont largement indépendantes. Les symboles et désignent respectivement les corps des nombres réels et des nombres complexes. Partie I - Étude d'un premier exemple I.A - Pour , montrer l'existence et donner la valeur des expressions suivantes : I.B - On considère l'équation différentielle , Déterminer une fonction bornée et une fonction telles que la solution géné- rale sur de cette équation différentielle puisse se mettre sous la forme , où Donner sans démonstration le résultat analogue relatif à l'équation différen- tielle . I.C - Soit le plan vectoriel engendré par les fonctions cosinus et sinus dans l'espace vectoriel des fonctions de dans , c'est-à-dire l'ensemble des fonc- tions de la forme I IR Ef y? y f x( ) 0=+– f I f 1 +∞ ?: f f 1a f IR IC x IR? ex e t– t cos t
- c0 y0
- ym ym
- coefficients complexes de degré inférieur
- y? ?
- unique solution bornée
- ir ic
- equation différentielle
MATHÉMATIQUES IFilière MP MATHMATIQUES I
Dans tout le problèmeIdésigne un intervalle non majoré deIR. Le but du problème est l’étude des solutions de l’équation différentielle E:y′–y+f(x)= 0 f oùfest une application continue définie surIà valeurs réelles ou complexes. et On verra que l’espace des solutions contient une solutionfayant un compor-1 tement particulier en+∞. Les parties I et II portent sur deux exemples. La partie III met en place l’appli-cationΦ:fafdans un cadre général. Les Parties IV à VI envisagent diverses 1 propriétés de la fonctionfet sont largement indépendantes. Les symbolesIRetICdésignent respectivement les corps des nombres réels et des nombres complexes.
Partie I - Étude d’un premier exemple I.A -Pourx∈IR, montrer l’existence et donner la valeur des expressions suivantes : +∞+∞ x–t x–t e ecostdt,e esintdt∫x∫x I.B -On considère l’équation différentielle y′–y+ cosx= 0,x∈IR Déterminer une fonctionYbornée et une fonctiongque la solution géné- telles 0 rale surIRde cette équation différentielle puisse se mettre sous la forme Y(x)=λg(x)+Y(x), oùλ ∈IR λ0 Donner sans démonstration le résultat analogue relatif à l’équation différen-tielle .y′–y+ sinx= 0 I.C -SoitΠle plan vectoriel engendré par les fonctionscosinusetsinusdans l’espace vectoriel des fonctions deIRdansIR, c’est-à-dire l’ensemble des fonc-tions de la forme xaαcosx+βsinx
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MATHÉMATIQUES I
FiliËre MP
Filière MP
oùαetβsont des nombres réels. Pour toutf∈ Π, on définitfpar la formule 1 +∞ x–t ∀x∈IR,f(x)=fe e(t)dt ∫ 1 x I.C.1) Montrerque la transformationfadéffinit une application 1 Φ:Π → Π. La linéarité deéΦtant considérée comme évidente, donner la matrice deΦdans la base deΠconstituée des fonctionscosinusetsinus. I.C.2) OnmunitΠde la norme f= supf(x) ∞ x∈IR Déterminer une constantek>0telle que, pour toutf∈ Π, on ait f≤k f 1∞ ∞ Pourf∈ Π, on définit par récurrence la suite(f)oùf=Φ(fe)t pour n1 ∗ n∈IN * tout ,n∈IN.f=Φ(f) n+ 1n Étudier l’existence de la limite de cette suite relativement à la norme définie sur Πet déterminer la valeur de cette limite.
Partie II - Étude d’un deuxième exemple On donne, pourx>0, l’équation différentielle 1 y′–y+-= 0. x II.A -Montrer qu’il existe sur l’intervalle]0+∞[une unique solutionYbornée 0 quandxtend vers l’infini et exprimerY(x)sous forme d’une intégrale. 0 Quelle expression donner à la solution généraleY, oùλ ∈IR, l’indexation étant λ telle que pourλ= 0, on ait la solution bornéeY? Étudier le comportement de 0 Y(x)lorsquextend vers0par valeurs positives. λ teCλla courbe représentative de la solutionλ. On noY II.B -Pour tout pointm(x,y)du demi-planx>0, on noteYla solution de m mm m mmC l’équation vérifiantY(x)=yetmsa courbe représentative.
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MATHÉMATIQUES IFilière MP Hm m II.B.1) Déterminerl’ensembledes pointsmtels queY′ (x)= 0. Même question pour l’ensembleIquedes telsm(m). Donner sans démons-m Y″x= 0 tration une interprétation géométrique pour chacun des ensemblesHetI. II.B.2) Quelleest la place de la courbeC0représentative de la solutionY0 par rapport aux courbesHetI? –t +∞ xe (on pourra faire des intégrations par parties surY(x)=e-dt). ∫ 0 xt II.B.3) Tracersans explication sur un même dessin des ébauches des courbes HIC0Cλ1Cλ22 1égatif , ,, , ,oùλetλsont des réels respectivement n et positif.
Partie III - La transformationΦ On suppose maintenant queIest un intervalle ouvert de la forme]a, +∞[,a pouvant être égal à–∞. 0 Dans leC-espace vectorielC(I,IC)des fonctions continues suràIvaleurs I complexes, on considère le sous-ensemble f(x) εα =f∃α ∈IR,lim-= 0 x→ +∞ x ε Autrement dit,est l’ensemble des fonctionsfen négligeables+∞devant une α certaine fonction puissancexax(αdépendant def). 0 III.A -Montrer queεest un sous-espace vectoriel deC(I,IC) ε Étant donnéf∈etx∈I, on considère l’équation différentielle E:y′–y+f(x)= 0 f f1ε III.B -Montrer queEadmet une unique solutionf∈définie par la formule +∞ x–t ∀x∈IR, .f(x)=fe e(t)dt ∫x 1 ε ε1 On définit l’applicationΦ:→parΦ(f)=f; elle est évidemment linéaire. n ε III.C -SoitΦla composéenfois deΦavec elle-même. Pourf∈, on pose n0 f=Φ (f) (avecf=f=φ (f)). Montrer que les conditions suivantes sont n0 équivalentes : (i) la suite(f)converge uniformément sur tout compact deI, n (ii) la suite(f)converge uniformément vers une constante sur tout compact de n I, ′ (iii) la sériefconverge uniformément sur tout compact deI. ∑n Concours Centrale-Supélec 20033/6
MATHÉMATIQUES IFilière MP III.D -Montrer que n n +∞+∞ *x(t–x)–tu–u ∀x∈I,∀n∈IN,fn+ 1(x)=e-f(t)e dt=-f(x+u)e du ∫xn!∫0n! n (on pourra raisonner par récurrence en écrivantf=Φ (f)et intégrer par n+ 11 parties). III.E -L’application linéaire :ε ε,1 Φ →faf est-elle injective? Montrer que l’image deΦest l’ensemble des applications 1 Ctelles queεε g∈ (I,IC)g∈etg′ ∈.
Partie IV - Fonctions bornées B Soitl’espace des fonctions continues bornées surIRà valeurs complexes. Bun sous espace vectoriel de étantε(défini au III), l’applicationest Φ définie surB. B IV.A -Montrer que pour toutf∈, l’équation différentielleEa une unique solution bornéef. 1 B IV.B -On munitde la norme f= sup{f(t) ,t∈IR} ∞ L’applicationΦest-elle continue pour cette norme ? L0B IV.C -Soit(resp.) le sous-espace dedes fonctions ayant une limite K (resp. une limite nulle) en+,∞le sous-espace des fonctions constantes. Montrer queL0etKsont des sous-espaces supplémentaires de. Montrer que ces sous-espaces sont stables parΦ. Ln IV.D -Montrer, à l’aide du III.D, que pour toutf∈,la suite(f)converge uniformément sur tout intervalle[a,+∞[vers une constante que l’on précisera (couper l’intervalle d’intégration en exprimant quefa une limite en+∞). 1B IV.E -Montrer que l’application linéaireΦ:fafest une injection de dans 1 le sous-espace des fonctions bornées de classeCsurIR. 2 L’applicationxasin(x)est-elle dans l’image deΦ? Préciser l’image deΦ.
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MATHÉMATIQUES IFilière MP Partie V - Fonctions périodiques P Soitl’espace des fonctions continues2π-périodiques. Pf V.A -Montrer que pour toutf∈, l’équation différentielleEa une unique solution périodiquef. 1 Cette fonctionfest-elle somme de sa série de Fourier ? 1 V.B -Quel lien a-t-on entre les coefficients de Fourier complexesc(f)etc(f)? k k1 P0P V.C -Soitle sous-espace desf∈dont la valeur moyenne 2π 1 c(f)=-f(t)dt 2π∫0 0 K P0K est nulle etle sous-espace des fonctions constantes. Montrer que etP sont des sous-espaces supplémentaires de. Pn Montrer que pour toutf∈, la suite(f)converge uniformément surIRvers une constante que l’on précisera. 1P V.D -Montrer que l’application linéaireΦ:fafest une bijection de surle 1 P1 sous-espacedes fonctions2π-périodiques de classeC. P P1 12 V.E -On considère suretles normesNetNsuivantes : 2π2π 2 N(f)=f(t)dt,N(f)=f(t)dt ∫0∫0 1 2 –1 Les applicationsΦetΦsont-elles continues pour la normeN? Même ques-1 tion pour la normeN. 2
Partie VI - Fonctions polynomiales Soitdun entier naturel etFPdleC-espace vectoriel de dimensiond+ 1des I fonctions polynomiales deIRdansICà coefficients complexes de degré inférieur ou égal àd. VI.A -Soit une familleξ=(ξ ,…), ξded+ 1nombres réels distincts. Pour tout 0d f∈FPd, on pose N(f)= supf(ξ ) ξi 0≤i≤d Montrer que c’est une norme surFPd.
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MATHÉMATIQUES IFilière MP VI.B -Soit une suite de fonctions polynomiales deFPd d d– 1 xaf(x)=a x+a x+…+a n d,n d– 1,n0,n Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) la suite(f)converge simplement surIC, n (ii) la suite(f)converge uniformément sur tout compact deIC, n (iii) il existed+ 1nombres réels distinctsξ ,…, ξtels que, pour tout indice 0d 0≤i≤d, la suite(f(ξ ))converge. n i (iv) chacune desd+ 1suites numériques(a), pour0≤i≤d,converge. i,n n∈IN FPf VI.C -Pour toutd, montrer que l’équation différentiellea une uni-f∈E 1FPd que solutionf=Φ(f)dans. On note encoreΦ:faf;Φest considéré ici comme un endomorphisme de 1 FPd . VI.D -Pourffonction polynomiale de degréd, on forme la suite de fonctions n polynomiales(f)oùf=Φ (f). Cette suite vérifie-t-elle les conditions équiva-n n lentes de VI.B ?
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