Concours Centrale Supélec
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2003 1/4 MATHÉMATIQUES I Filière TSI L'épreuve est constituée par deux problèmes indépendants. Partie I - étant un réel donné, on désigne par la fonction définie sur par : , et, dans le cas où l'intégrale est convergente, on pose : . I.A - I.A.1) On suppose . Déterminer la limite de la fonction quand tend vers . L'intégrale de la fonction est-elle convergente sur ? I.A.2) Reprendre la question précédente dans le cas où . I.A.3) Montrer que : . L'intégrale de la fonction est-elle convergente sur quand vérifie ? ? f ? IR + f ? x( ) x 1 x?sin2x+ ----------------------------= I ?( ) f ? x( ) xd0 +∞∫= ? 0< f ? x +∞ f ? IR + ? 0= f ? x( ) x 1 x?+ ---------------≥ f ? IR + ? 0 ? 2≤<
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MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2003 1/4 MATHÉMATIQUES I Filière TSI L'épreuve est constituée par deux problèmes indépendants. Partie I - étant un réel donné, on désigne par la fonction définie sur par : , et, dans le cas où l'intégrale est convergente, on pose : . I.A - I.A.1) On suppose . Déterminer la limite de la fonction quand tend vers . L'intégrale de la fonction est-elle convergente sur ? I.A.2) Reprendre la question précédente dans le cas où . I.A.3) Montrer que : . L'intégrale de la fonction est-elle convergente sur quand vérifie ? ? f ? IR + f ? x( ) x 1 x?sin2x+ ----------------------------= I ?( ) f ? x( ) xd0 +∞∫= ? 0< f ? x +∞ f ? IR + ? 0= f ? x( ) x 1 x?+ ---------------≥ f ? IR + ? 0 ? 2≤<
- filière tsi
- majoration de établie
- allure de la représentation graphique
- nature de la branche infinie
- ∑≤ ≤
- concours centrale -supélec
- wn
MATHÉMATIQUES IFilière TSI MATHMATIQUES I
L’épreuve est constituée par deux problèmes indépendants.
Partie I + αétant un réel donné, on désigne parfla fonction définie surIRpar : α x f(x)=-, α α2 1 +xsinx et, dans le cas où l’intégrale est convergente, on pose : +∞ I(α)=f(x)dx. ∫ α 0 I.A -I.A.1) Onsupposeα <0. Déterminer la limite de la fonctionfquandxtend vers+∞. α + L’intégrale de la fonctionfest-elle convergente surIR? α I.A.2) Reprendrela question précédente dans le cas oùα= 0. I.A.3) Montrerque : x f(x) ≥-. α α 1 +x + L’intégrale de la fonctionfqest-elle convergente surIuRand vériαfie α 0< α ≤2?
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MATHÉMATIQUES I
FiliËre TSI
I.B -On supposeα >0. On pose :
1 v=n–-π n 2
1 n+-π 2 ∫ 1 n–--π 2
1 n+-π 2 u=f(x)dx, ∫ nα 1 n–--π 2
dx -, α 12 1 +n+-πsinx 2
Filière TSI
1 n+--π 2 1dx etw=n+-π-. ∫α n 2 12 1 1 +n–-πsinx n–--π 22 + I.B.1) Montrerque l’intégrale de la fonctionfest convergente surIRsi et α seulement si la série +∞ uest convergente. ∑n n= 1 I.B.2) Montrerque : ∗ ∀n∈N, .v≤u≤w n nn I.B.3) Montrerque π π - -2du2du w=(2n+ 1)π- etv=(2n– 1)π-. ∫ ∫ n n α α 012 012 1 +n–-πsinu1 +n+-πsinu 2 2 I.B.4)hétant un réel strictement positif, calculer π --21 -dx∫2 2 0 1 +hsinx et en déduirevetw. n n
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MATHÉMATIQUES IFilière TSI I.B.5) Montrerqu’il existe une constanteKstrictement positive telle que α 2 –--2 Kπ v≥-n α -–1 2 (n+ 1) pour tout entier naturelnnon nul et une constanteK′strictement positive telle que α 2 –--2 K′π w≤-n α --–1 2 (n– 1) pour tout entier naturelnstrictement supérieur à1. + I.B.6) Endéduire que l’intégrale de la fonctionfest convergente surIRsi α et seulement siα >4.
I.C -On pose +∞ φ(α)=f(x)dx∫π α -2 pour toutαréel strictement supérieur à4. I.C.1) Montrerqueφest décroissante sur]4, +∞[. I.C.2) Enutilisant la minoration devétablie à la question I.B.5, montrer n queφ(α)tend vers l’infini quandαtend vers4. I.C.3) Enutilisant la majoration dewétablie à la question I.B.5, montrer n queφ(α)tend vers0quandαtend vers+∞.
Partie II On considère la série de fonctions +∞ x n u(x)avecu(x)=-. ∑ n n n! n= 1 On pose n S(x)=u(x). ∑ n k k= 1 II.A -Pour quelles valeurs dexla série est-elle convergente ?
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MATHÉMATIQUES IFilière TSI On pose alors +∞ S(x)=u(x). ∑n n= 1 II.B -Montrer queSest à valeurs strictement positives et que la fonctionSest strictement croissante. II.C -Calculer .S(0),S(1),S(2),S(3) II.D -Montrer que, pour tout réelxstrictement négatif et tout entier natureln strictement supérieur à 1 : x n1 0<S(x)≤S(x)+-1 +-. n– 1 n!n On remarquera que, lorsquekest strictement supérieur àn, on a : x k–n k n! 1 -<1 et-≤-. n k!n+ 1 –2 II.E -En déduire une valeur approchée deS(–1)à10près. II.F -Étudier les limites deSquandxtend vers+∞, quandxtend vers–∞. II.G -Donner l’allure de la représentation graphique de, eSn précisant la nature des branches infinies. II.H -Démontrer que : p p– 1 k kp xxx x ∗ ∀x∈ [0,1], ,∀p∈N-≤.e≤-+e-∑ ∑ k!k!p! k= 0k= 0 II.I -Démontrer que l’intégrale t 1 e– 1 -dt ∫0t est convergente. II.J -Démontrer que t 1 e– 1 -dt=S(–1). ∫0t
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