Concours Centrale Supélec
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2000 1/5 MATHÉMATIQUES I Filière MP Définitions Si est une fonction de classe définie sur un ouvert et à valeurs réel- les, on notera, pour , fois, fonction définie sur le sous- domaine de défini par . On appelle -cycle de un ensemble de éléments tel que . On appelle multiplicateur du cycle la quantité . Un point est dit -périodique s'il est élément d'un -cycle ; un point périodique est encore appelé point fixe. Le multiplicateur d'un point périodi- que est alors le multiplicateur du cycle le contenant, qui n'est autre que le multiplicateur de comme point fixe de . Le cycle (ou le point -périodique) sera dit attractif, super attractif, indifférent ou répulsif suivant que la valeur absolue de son multiplicateur est strictement inférieure à , égale à , égale à ou strictement supérieure à . On pourra être amené à utiliser un théorème de fonctions implicites dans . On pourra alors admettre le résultat suivant : Théorème : Soit un ouvert de , une fonction de classe , et un point de , tels que . Alors il existe , tels que si on pose , , l'ouvert est inclus dans et il existe une fonction : de classe telle que : . Le thème général du problème est l'étude globale de la méthode de Newton appliquée aux polynômes.
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MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2000 1/5 MATHÉMATIQUES I Filière MP Définitions Si est une fonction de classe définie sur un ouvert et à valeurs réel- les, on notera, pour , fois, fonction définie sur le sous- domaine de défini par . On appelle -cycle de un ensemble de éléments tel que . On appelle multiplicateur du cycle la quantité . Un point est dit -périodique s'il est élément d'un -cycle ; un point périodique est encore appelé point fixe. Le multiplicateur d'un point périodi- que est alors le multiplicateur du cycle le contenant, qui n'est autre que le multiplicateur de comme point fixe de . Le cycle (ou le point -périodique) sera dit attractif, super attractif, indifférent ou répulsif suivant que la valeur absolue de son multiplicateur est strictement inférieure à , égale à , égale à ou strictement supérieure à . On pourra être amené à utiliser un théorème de fonctions implicites dans . On pourra alors admettre le résultat suivant : Théorème : Soit un ouvert de , une fonction de classe , et un point de , tels que . Alors il existe , tels que si on pose , , l'ouvert est inclus dans et il existe une fonction : de classe telle que : . Le thème général du problème est l'étude globale de la méthode de Newton appliquée aux polynômes.
- ir?
- m?m m?m
- polynôme de degré
- logiciel de calcul formel
- cycle attractif d'ordre
- bassin immédiat
- x1
- super attractif
MATHÉMATIQUES IFilière MP MATHÉMATIQUES I
Définitions Sifest une fonction de classeCdéfinie sur un ouvert IRet à valeurs réel-p les, on notera, pourp1,f=f f..fp fois,fonction définie sur le sous-o o 2p– 1 domaine de définipar{x f(x) ,f(x), , f(x) }. On appelle p-cycle def unensemble dep éléments{x,x} telque 0p– 1 f(x)=x ,,f(x)=x,f(x)=x. On appelle multiplicateur du cycle 0 1p– 2p– 1p0– 1 la quantité p (f) (x)=f( x)f( x)f( x). 0 01p– 1 Un pointx estditp-périodique s’il est élément d’unp-cycle ;un point 1 -périodique est encore appelé point fixe. Le multiplicateur d’un point périodi-quexest alors le multiplicateur du cycle le contenant, qui n’est autre que le 0 p multiplicateur dexcomme point fixe def. Le cycle (ou le pointp-périodique) 0 sera dit attractif, super attractif, indifférent ou répulsif suivant que la valeur absolue de son multiplicateur est strictement inférieure à1, égale à0, égale à 1ou strictement supérieure à1. 2 On pourra être amené à utiliser un théorème de fonctions implicites dansIR. On pourra alors admettre le résultat suivant : 2 1 Théorème:Soitun ouvert deIR,F: IRune fonction de classeC, et (x,y)un point de, tels que 0 0 F F(x,y)= 0,-(x,y)0. 0 00 0 y Alors il existe, >0tels que si on poseI= ]x–,x+[, 0 0 J= ]y–,y+[, l’ouvertV=I×Jest inclus danset il existe une 0 0 1 fonctiong:]x–,x+[]y–,y+[de classeCtelle que : 0 00 0 (x,y)V,F(x,y)= 0y=g(x).
Le thème général du problème est l’étude globale de la méthode de Newton appliquée aux polynômes.
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MATHÉMATIQUES I
Filière MP
Filière MP
Partie I - La méthode de Newton pour les polynômes réels SoitP:IRIRfonction polynomiale non constante et une ={xIRP (x) 0}. Six , on définitN(x)étant l’abscisse de comme P l’intersection de la tangente en(x,P(x))au graphe dePavec l’axe desx. I.A -Montrer que : P(x) x ,N(x)=x–-. P P (x) I.B -I.B.1) Six , calculerN (x). P I.B.2) Soitaun nombre réel. Montrer que siP(a)= 0,P (a)0alorsaest un point fixe super attractif deN. P Siaest un zéro d’ordrep2dePmontrer queNpeut se prolonger par con-P tinuité enaqui devient un point fixe attractif deNde multiplicateur1 – 1p. P Six , on dira que la suite de Newton dexparPest bien définie si l’on peut définir une suite(x)telle quex=xet : n0 nIN,x etx=N(x). n n+ 1P n Dans ce cas, cette suite(x)sera la suite de Newton dexparP. n I.C -Montrer que si la suite de Newton dexparPest bien définie et converge versaIRalorsP(a)= 0. I.D -Soit réciproquementaIRun zéro deP. I.D.1) Montrerl’existence de >0tel que siy–a< alors la suite de Newton deyparPest bien définie et converge versa. On appelleI(a)le plus grand intervalle contenantaet formé de points dont la suite de Newton parPconverge versa. I.D.2) Montrerque c’est un intervalle ouvert ; on l’appelle le bassin immédiat dea.
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MATHÉMATIQUES IFilière MP I.E -_ I.E.1) Onsuppose quePa au moins deux racines réelles. Soitale plus petit _ zéro deP; on suppose que, le plus petit zéro de vérifie>aet queP ne _ s’annule pas sur]–,[. Montrer que le bassin immédiat deaégal à est ]– ,[. I.E.2) Onsuppose que le bassin immédiat du zéroa deP estde la forme ], [,, IR. Montrer successivement queN(], [) ], [, queP()P ()P()P ()0, et P enfin queN()=,N()=. Ce2- cycle peut-il être attractif ? P P I.F -Les hypothèses de la question I.E.2 étant toujours vérifiées, montrer que le bassin immédiat deacontient un zéro deP . I.G -On supposePde degréd2possédantdzéros distincts. Montrer queN P attire tout zéro deP vers un zéro deP.
Partie II - Étude algébrique SoitPun polynôme deIC[X]de degréd(on noted°(P)=d) . Dans cette partie la dérivation est à prendre au sens de la dérivation formelle des polynômes ou plus généralement des fractions rationnelles etNest la fraction rationnelle P P(X) N(X)=X–-. P P (X) II.A -Montrer que siPadzéros distincts alorsR=Nvérifie P # Q !R=-,Q,SIC[X],PGCD(Q,S)= 1,d°(Q)=d,d°(S)=d– 1 S " (*) ! etRpossèded points fixes super attractifs (Un point fixe super attractif deR estun pointzIC telqueR(z)=z, R (z)= 0). $ II.B -Soit réciproquementRfraction rationnelle vérifiant une(). Montrer qu’il existePIC[X], de degréd, possédantdzéros distincts, tel queR=N. P II.C -Deux fractions rationnellesf,gsont dites semblables s’il existe une simi-litudeT(z)=az+b(a,bIC,a0) telle que siD, D désignent les domaines de définition def,gle complémentaire dans (c’est-à-direIC del’ensemble des pôles) alorsT(D)=D et –1 zD ,f(z)=TT g(z). o o
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MATHÉMATIQUES IFilière MP Sia,bIC,a0et siT(z)=az+bmontrer queNest semblable àN. P TP o 2 2 II.D -DéterminerNpourP(X)=X,P(X)=X– 1: montrer que siPest un P z z1 polynôme de degré 2 alorsNest semblable àza-ou bien àza-+-. P 2 22z II.E -PourmICon définit 3 2 P(z)=z+(m– 1)z–m=(z– 1)(z+z+m),N(z)=N(z) m mP m Montrer que siP estun polynôme de degré 3 alors soitN estsemblable à P 2z za-soit il existemICtel queNest semblable àN. P m 3 II.F -Quel est l’intérêt des résultats des deux questions précédentes pour l’étude des suites de Newton par les polynômes de degré%3?
Partie III - Étude analytique du cas cubique réel Dans cette partie on supposemIR, on garde les notations du II.E et on s’inté-resse au comportement des suites de Newton des nombres réels parP. m III.A -III.A.1) MontrerquePa trois zéros (complexes) distincts si et seulement si m m–2,m14. III.A.2) Onsupposem>1: montrer que la suite de Newton de tout réelxpar Pest définie et converge vers un réel à préciser. m III.B -III.B.1) Montrerque sim <14,m –2alorsPpossède trois zéros réels dis-m tincts, soient : – 1 +1 – 4m – 1 –1 – 4m 1,a=-,b=-. m m 2 2 Si de plusm <0, montrer qu’il existem]0,14[tel queNsoit semblable à m N. m III.B.2) Onsupposera désormais dans cette partie quem [0,14[.P pos-m sède alors trois zéros réels distincts, soient : – 1 +1 – 4m1 – 4– 1 –m 1,a=-,b=-. m m 2 2
±1 –m III.B.3) Onposex=±-et on désigne par](m), (m)[le bassin immé-0 3 diat dea. Montrer que la fonctionxaN (x)est strictement décroissante m m - + sur]x,a[et strictement croissante sur]0,x[. 0m0
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MATHÉMATIQUES IFilière MP III.B.4) Montrerque la fonctionM=N Nest définie sur un intervalle m mom - +- +- ++ -]x,x[]x,x[oùN(x)=x,N(x)=x. 1 10 0m1 0m1 0 - + On désigne par,le plus petit et le plus grand zéro deM . Montrer que la m - -fonctionM est strictement décroissante sur]x, [et strictement croissante m1 + + sur] ,x[. 1 - + III.B.5) Montrerque l’intervalle][ , estinclus dans le bassin immédiat dea. m III.B.6) Déduirede III.B.4 et III.B.5 que{(m),(m)}est le seul2- cycle deN. m 1 III.B.7) Montrerque(0)= –(0)et en déduire que(0)= –-. 5 III.B.8) OnposeF(m,x)=M(x)–x. Siuest un réel, un développement limité m à l’ordre1de la fonction 1 maF(m,–-+um) 5 peut être obtenu grâce à un logiciel de calcul formel. On trouve : 25 – 75 ) * 35u+-m+o(m). ' ( 2 En déduire, avec toutes les justifications nécessaires, un développement limité à l’ordre1deen0. III.C -III.C.1) Montrerqu’il existe une et une seule valeurmdemIRtelle que 0 0 –3 soit2-périodique pourN. Donner une valeur approchée à10près par défaut m demen indiquant l’algorithme utilisé. 0 III.C.2) Montrerqu’il existe >0que si telm–m< alorsNun admet 0m cycle attractif d’ordre2qui attire0.
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