Cours de Master 1ere annee

Cours de Master 1`ere ann´ee
Ann´ee 2006-2007
´PROBABILITES
et
´MODELISATIONS STOCHASTIQUES
D´epartement de Math´ematiques - Universit´e Henri Poincar´e Nancy I2Table des mati`eres
1 Variables al´eatoires gaussiennes 5
1.1 Variables al´eatoires gaussiennes `a valeurs r´eelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Esp´erance et covariance de variables al´eatoires `a valeurs vectorielles . . . . . . . 8
D´efinitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Vecteurs al´eatoires gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Convergence vers la loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Loi du chi-deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6 Une application `a la statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Conditionnement 35
2.1 Esp´erance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Loi conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3 Le cas gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4 Introduction aux martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3 Chaˆınes de Markov 73
3.1 D´efinitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2 Chaˆıne canonique. Temps d’arrˆet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
´3.3 Potentiel. Etats r´ecurrents, ´etats transients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.4 Mesure invariante et convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4 Simulation 115
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.2 Proc´ed´es de simulations de variables al´eatoires `a valeurs r´eelles . . . . . . . . . . 117
Simulations de variables al´eatoires courantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Proc´ed´es g´en´eraux de simulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3`4 TABLE DES MATIERESChapitre 1
Variables al´eatoires gaussiennes
Les variables al´eatoires gaussiennes apparaissent naturellement comme limite de sommes re-
normalis´ees, de v.a. ind´ependantes; pour plus de pr´ecisions on peut se reporter a l’´enonc´e du
th´eor`eme central limite dans le§4. Ainsi la somme cumul´ee de petites fluctuations au niveau
microscopique donne naissance `a une fluctuation macroscopique gaussienne. En plus de cette
propri´et´e de “normalit´e”, les v.a. gaussiennes `a valeurs multidimensionnelles sont tr`es utilis´ees
danslamod´elisationdeph´enom`enes physiques, carelles seprˆetent extrˆemement bienaucalcul.
1.1 D´efinitionsetpropri´et´esdesvariablesal´eatoiresgaus-
siennes `a valeurs r´eelles
D´efinition 1.1 Une variable al´eatoire `a valeurs r´eellesX est dite gaussienne r´eduite et centr´ee
si sa loi de probabilit´e admet la densit´e :
21 x
√f(x) = exp− , x∈ .
22π
On noteN (0,1) cette loi. Rappelons que1
Z
21 x
[f(X)] =√ f(x)exp − dx,
22π
pour toute fonction bor´elienne born´ee ou positive. En particulier,
Z 2 √x
exp − dx = 2π.
2
Z x2 2√Remarque : On introduit la fonction d’erreur erf d´efinie par erf(x) = exp(−t )dt. Si
π 0√
X suit une loiN (0,1) alors (|X|≤ 2x) = erf(x).1
5



´6 CHAPITRE 1. VARIABLES ALEATOIRES GAUSSIENNES
Proposition 1.1 Soit X une v.a.r. gaussienne r´eduite et centr´ee.
zX1) Pour tout z∈ , [|e |]<∞ et
2[expzX] = expz /2. (1.1)
En particulier
2−t /2[exp(itX)] =e , ∀t∈ . (1.2)
2) Pour tout n∈ , on a
(
0 si n est impair,
n(X ) = (2m)! (1.3)
, si n est pair, n = 2m.
mm!2
R
1 2D´emonstration : On v´erifie que l’int´egrale exp(zx− x )dx est absolument convergente
2
zX(e ) est bien d´efinie et,pour tout z complexe. Par cons´equent la quantit´e ϕ(z) =
Z
1 1 2ϕ(z) =√ exp(zx− x )dx.
22π
21 2 1 2 zSupposonsz r´eel. On ´ecrit zx− x =− (x−z) + et l’on fait le changement de variable
2 2 2
2 2z /2 z /2y = x−z dans l’int´egrale, il vient ϕ(z) = e . Remarquons que ϕ et z→ e sont deux
fonctions enti`eres; puisque ces deux fonctions co¨ıncident sur , elles sont ´egales sur . En
2−t /2particulier, si z =it avec t∈ , on a : (exp(itX)) =e , t∈ .
n|x|Soit n≥ 1. Sachant que lim = 0, il existe une constante c telle que|x|→∞ nch(x)
n x −x|x| ≤c (e +e ), ∀x∈ . (1.4)n
nPuisque (exp(aX)) existe pour tout r´eel a, on d´eduit de (1.4) que (|X| ) < ∞. Par
ncons´equent, (X ) existe pour tout n≥ 1.
itxPar ailleurs, en utilisant le d´eveloppement en s´erie enti`ere de x→e , on peut affirmer que,
presque suˆrement,
n kX (it)itX ke = lim S , S = X .n n
n→∞ k!
k=0
Mais|S |≤Y avecn
∞ k kX|t||X| |tX| tX −tXY = =e ≤e +e .
k!
k=0
En utilisant a` nouveau le fait que (exp(aX)) <∞, on en d´eduit que Y est int´egrable. Une
application du th´eor`eme de Lebesgue, conduit `a,
 
n n nX X(itX) i t n (exp(itX)) = = (X ).
n! n!
n≥0 n≥0
Par identification on en d´eduit (1.3).




















´ ` ´1.1. VARIABLES ALEATOIRES GAUSSIENNES A VALEURS REELLES 7
Notons en particulier (X) = 0, Var(X) = 1. Ce qui justifie le terme “r´eduit” et “centr´ee”.
D´efinition 1.2 Une variable al´eatoire r´eelle est dite gaussienne s’il existe une v.a. X gaus-
sienne r´eduite et centr´ee, et deux r´eels a et b tels que Y =aX +b.
On peut identifier a et b `a l’aide de l’esp´erence et la variance de Y, plus pr´ecis´ement,
2 2(Y) =b, VarY =a ×VarX =a .
Posons σ =|a| et m =b, et supposons a≥ 0, alors
Y =σX +m, X de loi gaussienne r´eduite et centr´ee. (1.5)
Si a < 0, on ´ecrit Y = (−a)(−X)+b, on peut se ramener au cas pr´ec´edent en observant que
−X suit une loi gaussienne r´eduite et centr´ee.
Larelationpr´ec´edentepermetd’exprimerX `al’aidedeY.Eneffet,soientY unev.a.gaussienne,
Y−mm = (Y)etσ = VarY.Onsupposeσ> 0.Alorslav.a.Y = estunev.a.deloigaussienne∗ σ
r´eduite et centr´ee et
Y =σY +m. (1.6)∗
2 2OnnoteN (m,σ )laloi d’unev.a. deloi gaussienne demoyennemet devarianceσ .Uncalcul1
ais´e montre :
21 (x−m) 2√ exp− est la densit´e de N (m,σ ). (1.7)122σσ 2π
2Soit Y de loiN (m,σ ), on d´eduit de (1.6)1
itm[exp(itY)] =e [expi(tσ)Y ].∗
Une application directe de (1.1) et (1.2) conduit `a,

2t 2[exp(itY)] = exp itm− σ , t∈ . (1.8)
2
Enutilisantl’injectivit´edelatransform´eedeFourier,onmontrequesiX estunev.a.tellequela
2 2fonctioncaract´eristique (c’est-`a-direlafonctiont→ (exp(itX))est´egale`at→ exp(ita−t b )
ou` a∈ et b∈ , X est une v.a. gaussienne.
2Proposition 1.2 SoientY etY deux v.a. gaussiennes, ind´ependantes,Y de loiN (m ,σ ),1 2 1 1 1 1
2 2 2Y de loiN (m ,σ ). Alors Y +Y est une v.a. gaussienne de loiN (m +m ,σ +σ ).2 1 2 1 2 1 1 22 1 2
D´emonstration : Les v.a. Y et Y ´etant ind´ependantes, on a pour tout t r´eel :1 2
ϕ(t) = [exp(it(Y +Y ))] = [exp(itY )] [exp(itY )].1 2 1 2
De plus Y et Y sont gaussiennes, d’apr`es (1.8), on a :1 2

2 2 2 2t σ t σ1 2ϕ(t) = exp itm − exp itm −1 2
2 2

2 2 2t (σ +σ )1 2= exp it(m +m )− .1 2 2










´8 CHAPITRE 1. VARIABLES ALEATOIRES GAUSSIENNES
Remarques
1) Le r´esultat peut ˆetre faux si l’on ne suppose plus Y et Y ind´ependantes.1 2
2)Plac¸ons-noussousleshypoth`esesdelaproposition1.2.Sil’onsaitqueY +Y estgaussienne,1 2
2de loiN (m,σ ), il est ais´e d’identifier les deux param`etres :1
m = (Y +Y ) = (Y )+ (Y ) =m +m ,1 2 1 2 1 2
2 2 2σ = Var(Y +Y ) = VarY +VarY =σ +σ .1 2 1 2 1 2
La deuxi`eme ´egalit´e a lieu car Y et Y sont deux v.a. ind´ependantes.1 2
3) Le r´esultat se g´en´eralise sans difficult´e au cas de n v.a. : soient Y ,Y ,...,Y , n v.a.r.,1 2 n
2ind´ependantes, Y de loiN (m,σ ), 1≤i≤n, alorsi 1 i i
!
n nX X
2Y +Y +...+Y suit une loi N m, σ . (1.9)1 2 n 1 i i
i=1 i=1
1.2 Esp´erance et covariance de variables al´eatoires `a va-
leurs vectorielles
Avant de consid´erer les vecteurs gaussiens, il est bon de rappeler les d´efinitions et propri´et´es
des v.a. `a valeurs vectorielles.
D´efinitions et notations
∗ n1) Si A est une matrice d’ordre, A d´esigne la matrice transpos´ee. En particulier si x∈
∗est