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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
FACULTE DEDROIT ETDES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES EXAMENANNEE 2004-2005 2ème session 4ème semestre Licence Sciences Economiques 2ème année Matière : Statistiques et probabilités Durée : 1H30 Les calculatrices programmables ou graphiques sont autorisées. Exercice I (30 min, 7 points) On souhaite estimer la proportion p de personnes au chômage dans un quartier d'une grande ville. Pour cela, on prévoit de sonder n personnes. On note K la variable aléatoire donnant le nombre de personnes au chômage parmi les n sondées (n ≥ 100). 1) En expliquant votre raisonnement, déterminer la loi de K. 2) En déduire que la proportion F de personnes au chômage parmi les n sondées suit approxi- mativement une loi normale dont on précisera les paramètres. 3) Sur n = 121 personnes sondées, 25 déclarent être au chômage. Donner un intervalle de confiance pour p, a) au niveau 1? ? = 95 %, b) puis au niveau 1? ? = 90 %. 4) Combien de personnes faudrait-il interroger afin d'obtenir un intervalle à 95 % de longueur inférieure à 10 % ? Exercice II (30 min, 7 points) On note X et Y les durées de vie respectives de deux ampoules de type distincts A et B. On sait que X et Y suivent indépendamment des lois normales.

sortie spss

nom loi

hasard parmi la clientèle du supermarché

risque

etdes sciences economiques

variances réelles

loi de student z

intervalle de confiance pour ?

hypothèse h0

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Ème 2 session

FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES

EXAMEN ANNEE 20042005

Ème Licence Sciences Economiques 2 annÉe

MatiÈre : Statistiques et probabilitÉs DurÉe : 1H30

Les calculatrices programmables ou graphiques sont autorisÉes.

Ème 4 semestre

Exercice I(30 min, 7 points) On souhaite estimer la proportionpde personnes au chÔmage dans un quartier d’une grande ville. Pour cela, on prÉvoit de sondernpersonnes. On noteKla variable alÉatoire donnant le nombre de personnes au chÔmage parmi lesnsondÉes (n≥100). 1)En expliquant votre raisonnement, dÉterminer la loi deK. 2)En dÉduire que la proportionFde personnes au chÔmage parmi lesnsondÉes suit approxi mativement une loi normale dont on prÉcisera les paramÈtres. 3)Surn=121 personnes sondÉes, 25 dÉclarent tre au chÔmage. Donner un intervalle de conﬁance pourp, a)au niveau 1−α=95 %, b)puis au niveau 1−α=90 %. 4)Combien de personnes faudraitil interroger aﬁn d’obtenir un intervalle À 95 % de longueur infÉrieure À 10 % ?

Exercice II(30 min, 7 points) On noteXetYles durÉes de vie respectives de deux ampoules de type distinctsAetB. On sait queXetYsuivent indÉpendamment des lois normales. Sur un Échantillon de 53 ampoules de typeA, on observe les rÉsultats suivants :

x=830 heures

et sur un Échantillon de 67 ampoules de typeB:

y=795 heures

sn−1(X)=20 .

sn−1(Y)=21 .

1)En justiﬁant vos afﬁrmations, donner des estimations non biaisÉes de E(X), E(Y), Var(X) et Var(Y). Dans le suite, on supposera les variances rÉelles Var(X) et Var(Y) connues et Égales À leurs estimations. On poseθ=E(X)−E(Y) 2)Donner un estimateurTdeθ. DÉterminer la loi deTet prÉciser ses propriÉtÉs ? 3)Construire un intervalle de conﬁance pourθ=E(X)−E(Y) au niveau 95%.

4)On veut tester l’hypothÈse H0: E(X)=E(Y) contre l’hypothÈse H1: E(X)>E(Y) . a)En utilisant la variable de dÉcisionTdonner une rÉgion d’acceptation pourH0au risque 5%. b)Que doiton penser deH0?

Exercice III(30 min, 6 points) On noteXle montant dÉpensÉ par les clients d’un supermarchÉ (lors de chaque visite). Pour ÉtudierX, on a relevÉ le montant dÉpensÉ par 25 clients choisis au hasard parmi la clientÈle du supermarchÉ. 1)On souhaite Étudier la normalitÉ deX. a)Commenter la sortie SPSSPPlot. b)Expliquer et commenter la sortie SPSSTests non paramÉtriques. c)Conclusion ? 2)Expliquer prÉcisÉment chacune des cases du tableauDescriptives. 3)Les donnÉes prÉcÉdentes permettentelles d’afﬁrmer (avec un risque de 5 %) que la variance 2 σdeXest signiﬁcativement infÉrieure À 400 ? 4)On souhaite dÉterminer si la dÉpense moyenne est signiﬁcativement infÉrieure À 100 Euros. a)Faire un test en prenant un risque de 5 puis 10 %. Conclusion ? b)Comparer votre conclusion avec la sortie SPSSTestt.

1) 2)

Nom

Loi de Bernoulli

X,→@(1,p)

Loi Binomiale

X,→@(n,p)

Loi hypergÉomÉtrique

X,→*(N,n,p)

Loi GÉomÉtrique

X,→&(p)

Loi de Pascal

X,→Pascal(r,p)

Loi de Poisson

X,→3(λ)

RÉcapitulatif des lois discrÈtes

Loi

X()= {0, 1}

P(X=1)=p

P(X=0)=q

X()= {0, . . . ,n}

k k n−k P(X=k)=C p q n

X()= {m, . . . ,M} k n−k C C N p Nq P(X=k)= n C N ∗ X()=N

k−1 P(X=k)=pq

X()= {r,r+1, . . .}

r−1r k−r P(X=k)=qC p k−1

X()=N k λ −λ P(X=k)=e k!

q=1−p. m=max(0,n−Nq),M=min(n,N p).

EspÉrance

E(X)=p

E(X)=n p

1 E(X)= p

r E(X)= p

E(X)=λ

Variance

Var(X)=pq

Var(X)=n pq

N−n Var(X)=n pq N−1

q Var(X)= 2 p

rq Var(X)= 2 p

Var(X)=λ

Nom

Loi Uniforme

X,→8(a,b)

Loi Exponentielle

X,→%(λ)

Loi Normale

X,→1(µ,σ)

Loi du khideux

2 Y,→χ(n)

Loi de Student

Z,→6(n)

Loi de Fisher

Z,→F(n,p)

RÉcapitulatif des lois continues

Loi/DensitÉ

1 fX(x)=six∈[a,b] b−a

−λx fX(x)=λe six≥0

2 1 (x−µ) − 2 fX(x)= √e 2σ σ2π n P 2 Y=X i i=1 avecXi,→1(0, 1) ind. .q Y Z=X n

2 X,→1(0, 1),Y,→χ(n) ind. . X Y Z= n p

2 2 X,→χ(n),Y,→χ(p) ind.

EspÉrance

a+b E(X)= 2

1 E(X)= λ

E(X)=µ

E(Y)=n

E(Z)=0

p E(Z)= p−2

Variance

2 (b−a) Var(X)= 12

1 Var(X)= 2 λ

2 Var(X)=σ

Var(Y)=2n

n Var(Z)= n−2

Var(X)= ∙ ∙ ∙

t P

t 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9

Fonction de rÉpartition de la loi de normale1(0, 1)

0,00 0,500 0 0,539 8 0,579 3 0,617 9 0,655 4 0,691 5 0,725 7 0,758 0 0,788 1 0,815 9 0,841 3 0,864 3 0,884 9 0,903 2 0,919 2 0,933 2 0,945 2 0,955 4 0,964 1 0,971 3 0,977 2 0,982 1 0,986 1 0,989 3 0,991 8 0,993 8 0,995 3 0,996 5 0,997 4 0,998 1

3,0 0,998 65

0,01 0,504 0 0,543 8 0,583 2 0,621 7 0,659 1 0,695 0 0,729 1 0,761 1 0,791 0 0,818 6 0,843 8 0,866 5 0,886 9 0,904 9 0,920 7 0,934 5 0,946 3 0,956 4 0,964 9 0,971 9 0,977 8 0,982 6 0,986 4 0,989 6 0,992 0 0,994 0 0,995 5 0,996 6 0,997 5 0,998 2

3,1 0,999 04

  Exemple:P1(0, 1)≤1,33=0,908 2.

0,02 0,508 0 0,547 8 0,587 1 0,625 5 0,662 8 0,698 5 0,732 4 0,764 2 0,793 9 0,821 2 0,846 1 0,868 6 0,888 8 0,906 6 0,922 2 0,935 7 0,947 4 0,957 3 0,965 6 0,972 6 0,978 3 0,983 0 0,986 8 0,989 8 0,992 2 0,994 1 0,995 6 0,996 7 0,997 6 0,998 2

3,2 0,999 31

0,03 0,512 0 0,551 7 0,591 0 0,629 3 0,666 4 0,701 9 0,735 7 0,767 3 0,796 7 0,823 8 0,848 5 0,870 8 0,890 7 0,908 2 0,923 6 0,937 0 0,948 4 0,958 2 0,966 4 0,973 2 0,978 8 0,983 4 0,987 1 0,990 1 0,992 5 0,994 3 0,995 7 0,996 8 0,997 7 0,998 3

3,3 0,999 52

0,04 0,516 0 0,555 7 0,594 8 0,633 1 0,670 0 0,705 4 0,738 9 0,770 4 0,799 5 0,826 4 0,850 8 0,872 9 0,892 5 0,909 9 0,925 1 0,938 2 0,949 5 0,959 1 0,967 1 0,973 8 0,979 3 0,983 8 0,987 5 0,990 4 0,992 7 0,994 5 0,995 9 0,996 9 0,997 7 0,998 4

3,4 0,999 66

0,05 0,519 9 0,559 6 0,598 7 0,636 8 0,673 6 0,708 8 0,742 2 0,773 4 0,802 3 0,828 9 0,853 1 0,874 9 0,894 4 0,911 5 0,926 5 0,939 4 0,950 5 0,959 9 0,967 8 0,974 4 0,979 8 0,984 2 0,987 8 0,990 6 0,992 9 0,994 6 0,996 0 0,997 0 0,997 8 0,998 4

3,5 0,999 76

0,06 0,523 9 0,563 6 0,602 6 0,640 6 0,677 2 0,712 3 0,745 4 0,776 4 0,805 1 0,831 5 0,855 4 0,877 0 0,896 2 0,913 1 0,927 9 0,940 6 0,951 5 0,960 8 0,968 6 0,975 0 0,980 3 0,984 6 0,988 1 0,990 9 0,993 1 0,994 8 0,996 1 0,997 1 0,997 9 0,998 5

3,6 0,999841

0,07 0,527 9 0,567 5 0,606 4 0,644 3 0,680 8 0,715 7 0,748 6 0,779 4 0,807 8 0,834 0 0,857 7 0,879 0 0,898 0 0,914 7 0,929 2 0,941 8 0,952 5 0,961 6 0,969 3 0,975 6 0,980 8 0,985 0 0,988 4 0,991 1 0,993 2 0,994 9 0,996 2 0,997 2 0,997 9 0,998 5

3,8 0,999 928

0,08 0,531 9 0,571 4 0,610 3 0,648 0 0,684 4 0,719 0 0,751 7 0,782 3 0,810 6 0,836 5 0,859 9 0,881 0 0,899 7 0,916 2 0,930 6 0,942 9 0,953 5 0,962 5 0,969 9 0,976 1 0,981 2 0,985 4 0,988 7 0,991 3 0,993 4 0,995 1 0,996 3 0,997 3 0,998 0 0,998 6

4,0 0,999 968

0,09 0,535 9 0,575 3 0,614 1 0,651 7 0,687 9 0,722 4 0,754 9 0,785 2 0,813 3 0,838 9 0,862 1 0,883 0 0,901 5 0,917 7 0,931 9 0,944 1 0,954 5 0,963 3 0,970 6 0,976 7 0,981 7 0,985 7 0,989 0 0,991 6 0,993 6 0,995 2 0,996 4 0,997 4 0,998 1 0,998 6

4,5 0,999 997

4,025 3,930 3,852 3,787 3,733

Fonction de rÉpartition de la loi de Student6(n)

0,999 318,2 22,32 10,21 7,173 5,894

0,995 63,65 9,925 5,841 4,604 4,032

0,9 3,078 1,886 1,638 1,533 1,476

1,697 1,684 1,676 1,671 1,667 1,664 1,662 1,660 1,653 1,645

2,042 2,021 2,009 2,000 1,994 1,990 1,987 1,984 1,972 1,960

2,457 2,423 2,403 2,390 2,381 2,374 2,368 2,364 2,345 2,326

0,9995 636,5 31,60 12,92 8,610 6,869

5,959 5,408 5,041 4,781 4,587

4,437 4,318 4,221 4,140 4,073

4,015 3,965 3,922 3,883 3,850

  Exemple:P S(11)≤2,201=0,975.

0,906 0,896 0,889 0,883 0,879

0,8 1,376 1,061 0,978 0,941 0,920

1,943 1,895 1,860 1,833 1,812

1,440 1,415 1,397 1,383 1,372

0,95 6,314 2,920 2,353 2,132 2,015

3,646 3,551 3,496 3,460 3,435 3,416 3,402 3,390 3,340 3,290

3,385 3,307 3,261 3,232 3,211 3,195 3,183 3,174 3,131 3,090

2,750 2,704 2,678 2,660 2,648 2,639 2,632 2,626 2,601 2,576

n\α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90 100 200 ∞

0,258 0,257 0,257 0,257 0,257

0,535 0,534 0,534 0,533 0,533

1,796 1,782 1,771 1,761 1,753

2,120 2,110 2,101 2,093 2,086

0,540 0,539 0,538 0,537 0,536

0,260 0,259 0,259 0,258 0,258

2,447 2,365 2,306 2,262 2,228

2,201 2,179 2,160 2,145 2,131

2,583 2,567 2,552 2,539 2,528

3,143 2,998 2,896 2,821 2,764

0,99 31,82 6,965 4,541 3,747 3,365

2,718 2,681 2,650 2,624 2,602

0,975 12,70 4,303 3,182 2,776 2,571

1,363 1,356 1,350 1,345 1,341

3,686 3,646 3,610 3,579 3,552

2,921 2,898 2,878 2,861 2,845

0,865 0,863 0,862 0,861 0,860

1,746 1,740 1,734 1,729 1,725

1,337 1,333 1,330 1,328 1,325

5,208 4,785 4,501 4,297 4,144

3,707 3,499 3,355 3,250 3,169

3,106 3,055 3,012 2,977 2,947

0,876 0,873 0,870 0,868 0,866

1,310 1,303 1,299 1,296 1,294 1,292 1,291 1,290 1,286 1,282

0,854 0,851 0,849 0,848 0,847 0,846 0,846 0,845 0,843 0,842

0,530 0,529 0,528 0,527 0,527 0,526 0,526 0,526 0,525 0,524

0,256 0,255 0,255 0,254 0,254 0,254 0,254 0,254 0,254 0,253

0,265 0,263 0,262 0,261 0,260

0,553 0,549 0,546 0,543 0,542

0,7 0,727 0,617 0,584 0,569 0,559

0,6 0,325 0,289 0,277 0,271 0,267

9,31 10,1 10,9 11,7 12,4

1,64 2,17 2,73 3,33 3,94

14,4 16,0 17,5 19,0 20,5

12,6 14,1 15,5 16,9 18,3

24,7 26,2 27,7 29,1 30,6

3,82 4,40 5,01 5,63 6,26

6,91 7,56 8,23 8,91 9,59

7,96 8,67 9,39 10,1 10,9

2 Fonction de rÉpartition de la loi duχ(n)

26,3 27,6 28,9 30,1 31,4

28,8 30,2 31,5 32,9 34,2

3,45 4,25 5,07 5,90 6,74

2,20 2,83 3,49 4,17 4,87

0,1 0,0158 0,211 0,584 1,06 1,61

0,25 0,102 0,575 1,21 1,92 2,67

0,05 0,0039 0,103 0,352 0,711 1,15

11,9 12,8 13,7 14,6 15,5

15,3 16,3 17,3 18,3 19,3

23,5 24,8 26,0 27,2 28,4

19,4 20,5 21,6 22,7 23,8

13,2 14,0 14,8 15,7 16,5

20,3 21,3 22,3 23,3 24,3

5,81 6,41 7,01 7,63 8,26

32,7 33,9 35,2 36,4 37,7

10,3 11,3 12,3 13,3 14,3

5,14 5,70 6,26 6,84 7,43

0,975 5,02 7,38 9,35 11,1 12,8

0,95 3,84 5,99 7,81 9,49 11,1

24,9 26,0 27,1 28,2 29,3

17,3 18,5 19,8 21,1 22,3

13,7 14,8 16,0 17,1 18,2

29,6 30,8 32,0 33,2 34,4

16,3 17,2 18,1 19,0 19,9

10,3 11,0 11,7 12,4 13,1

8,03 8,64 9,26 9,89 10,5

8,90 9,54 10,2 10,9 11,5

11,6 12,3 13,1 13,8 14,6

35,5 36,8 38,1 39,4 40,6

3,05 3,57 4,11 4,66 5,23

2,60 3,07 3,57 4,07 4,60

5,58 6,30 7,04 7,79 8,55

7,58 8,44 9,30 10,2 11,0

19,7 21,0 22,4 23,7 25,0

21,9 23,3 24,7 26,1 27,5

4,57 5,23 5,89 6,57 7,26

26,8 28,3 29,8 31,3 32,8

0,75 1,32 2,77 4,11 5,39 6,63

0,9 2,71 4,61 6,25 7,78 9,24

41,4 42,8 44,2 45,6 46,9

5,35 6,35 7,34 8,34 9,34

7,84 9,04 10,2 11,4 12,5

0,5 0,455 1,39 2,37 3,36 4,35

  2 Exemple:Pχ(15)≤22,3=0,90.

32,0 33,4 34,8 36,2 37,6

34,3 35,7 37,2 38,6 40,0

45,6 47,0 48,3 49,6 50,9

38,9 40,3 41,6 43,0 44,3

249,4 359,9 468,7 576,5

63,7 76,2 88,4 100,4 112,3 124,1 135,8

0,676 0,989 1,34 1,73 2,16

10,6 12,0 13,4 14,7 16,0

1,24 1,69 2,18 2,70 3,25

0,872 1,24 1,65 2,09 2,56

0,025 0,0010 0,0506 0,216 0,484 0,831

0,005 0,0000 0,0100 0,072 0,207 0,412

0,01 0,0002 0,0201 0,115 0,297 0,554

55,8 67,5 79,1 90,5 101,9 113,1 124,3

59,3 71,4 83,3 95,0 106,6 118,1 129,6

234,0 341,4 447,6 553,1

241,1 349,9 457,3 563,9

35,6 36,7 37,9 39,1 40,3

30,4 31,5 32,6 33,7 34,8

25,3 26,3 27,3 28,3 29,3

20,8 21,7 22,7 23,6 24,5

255,3 366,8 476,6 585,2

66,8 79,5 92,0 104,2 116,3 128,3 140,2

48,3 49,6 51,0 52,3 53,7

41,9 43,2 44,5 45,7 47,0

38,9 40,1 41,3 42,6 43,8

152,2 240,7 330,9 422,3

22,2 29,7 37,5 45,4 53,5 61,8 70,1

20,7 28,0 35,5 43,3 51,2 59,2 67,3

11,2 11,8 12,5 13,1 13,8

199,3 299,3 399,3 499,3

186,2 283,1 380,6 478,3

156,4 246,0 337,2 429,4

24,4 32,4 40,5 48,8 57,2 65,6 74,2

26,5 34,8 43,2 51,7 60,4 69,1 77,9

29,1 37,7 46,5 55,3 64,3 73,3 82,4

17,3 18,1 18,9 19,8 20,6

12,2 12,9 13,6 14,3 15,0

174,8 269,1 364,2 459,9

168,3 260,9 354,6 449,1

162,7 253,9 346,5 439,9

0,995 7,88 10,6 12,8 14,9 16,7

n\α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 200 300 400 500

16,8 18,5 20,1 21,7 23,2

18,5 20,3 22,0 23,6 25,2

0,99 6,63 9,21 11,3 13,3 15,1

15,4 16,2 16,9 17,7 18,5

13,8 14,6 15,3 16,0 16,8

39,3 49,3 59,3 69,3 79,3 89,3 99,3

33,7 42,9 52,3 61,7 71,1 80,6 90,1

213,1 316,1 418,7 521,0

226,0 331,8 436,6 540,9

45,6 56,3 67,0 77,6 88,1 98,6 109,1

51,8 63,2 74,4 85,5 96,6 107,6 118,5

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