LICENCE DE MATHEMATIQUES Automne ANALYSE Universite de Nice Sophia Antipolis
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
LICENCE DE MATHEMATIQUES Automne 2010 ANALYSE 1 Universite de Nice Sophia Antipolis CORRIGE DE L'EXAMEN Exercice 1 On renvoie au cours. Exercice 2 Un simple calcul montre que f ?(x) = cos(x)esin(x), g?(x) = 2x cos(x4)? 4x5 sin(x4), h?(x) = ?ex (1 + ex)2 . Exercice 3 On a I1 = ? ∫ pi 4 0 ? cos?(x) cos2(x) dx = [ 1 cos(x) ] pi 4 0 = √ 2? 1 Pour calculer I2, on procede a une integration par parties : I2 = ∫ pi 2 0 x sin?(x)dx = [x sin(x)] pi 2 0 ? ∫ pi 2 0 sin(x)dx = pi 2 + [cos(x)] pi 2 0 = pi 2 ? 1. Exercice 4 On a sin(x) = x? x3 6 + o0(x 3) et cos(x) = 1? x2 2 + o0(x 2). Par suite, x cos(x) = x? x 3 2 + o0(x 3) et pour x 6= 0, on a sin(x)? x cos(x) x3 = 1 2x 3 ? 16x 3 + o0(x3
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LICENCE DE MATHEMATIQUES Automne 2010 ANALYSE 1 Universite de Nice Sophia Antipolis CORRIGE DE L'EXAMEN Exercice 1 On renvoie au cours. Exercice 2 Un simple calcul montre que f ?(x) = cos(x)esin(x), g?(x) = 2x cos(x4)? 4x5 sin(x4), h?(x) = ?ex (1 + ex)2 . Exercice 3 On a I1 = ? ∫ pi 4 0 ? cos?(x) cos2(x) dx = [ 1 cos(x) ] pi 4 0 = √ 2? 1 Pour calculer I2, on procede a une integration par parties : I2 = ∫ pi 2 0 x sin?(x)dx = [x sin(x)] pi 2 0 ? ∫ pi 2 0 sin(x)dx = pi 2 + [cos(x)] pi 2 0 = pi 2 ? 1. Exercice 4 On a sin(x) = x? x3 6 + o0(x 3) et cos(x) = 1? x2 2 + o0(x 2). Par suite, x cos(x) = x? x 3 2 + o0(x 3) et pour x 6= 0, on a sin(x)? x cos(x) x3 = 1 2x 3 ? 16x 3 + o0(x3
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LICENCE DE MATHEMATIQUES ANALYSE 1 Universite de Nice Sophia Antipolis
´ CORRIGE DE L’EXAMEN
Exercice 1On renvoie au cours.
Exercice 2Un simple calcul montre que
0sin(x) f(x) = cos(x)e ,
044 5 g(x) = 2xcos(x)−4xsin(x),
Automne 2010
x −e 0 h(x) =. x2 (1 +e)
Exercice 3 On a Z π 4√ 0π −cos (x) 1 4 I1=−dx] == [2−1 0 2 cos (x) cos(x) 0 Pour calculerI2o,orpn:aritnoapprraitsec`ede`auneint´eg Z Z π π π π π π 2 2 02 2 sin(x)dx= +. I2=xsin (x)dx= [xsin(x)]−[cos(x)]0=−1 0 2 2 0 0
Exercice 4 On a 3 x 3 sin(x) =x−+o0(x) 6 et 2 x 2 cos(x) = 1−+o0(x). 2 3 x3 Par suite,xcos(x) =x−+o0(x) et pourx6= 0, on a 2 1 31 33 sin(x)−xcos(x)x−x+o0(x) 1 2 6 = =+o0(1). 3 3 x x3 Onende´duitque sin(x)−xcos(x) 1 lim =. 3 x→0,x6=0x3
