Licence de Mathematiques Fonction digamma
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite de Nancy Licence de Mathematiques Fonction digamma Rappel : on a vu en exercice que la fonction ?, definie sur ]0,+∞[ par ?(x) = ∫ +∞ 0 e?ttx?1 d?(t). verifie ?n ? N ?(n+ 1) = n!. On ne demande pas ici de redemontrer ce resultat, mais vous devez savoir le faire. Pour x > 0 on pose ?(x) = ∫ +∞ 0 (e?t t ? e?xt 1? e?t ) dt. 1. Verifier que ? est bien definie et est continue sur ]0,+∞[. Indication : on pourra d'abord se placer sur un intervalle [a, b], avec 0 < a < b < +∞. 2. Montrer, pour x > 0, l'identite ?(x+ 1) = ?(x) + 1x . 3. (a) Montrer que pour tout x > 0, on a limk?+∞ k?N ?(x+ k)? ?(k) = 0. (b) Montrer que pour tout x > 0, ?(x+ 1) = ?(1) + +∞∑ i=1 (1 i ? 1 x+ i ) .
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Universite de Nancy Licence de Mathematiques Fonction digamma Rappel : on a vu en exercice que la fonction ?, definie sur ]0,+∞[ par ?(x) = ∫ +∞ 0 e?ttx?1 d?(t). verifie ?n ? N ?(n+ 1) = n!. On ne demande pas ici de redemontrer ce resultat, mais vous devez savoir le faire. Pour x > 0 on pose ?(x) = ∫ +∞ 0 (e?t t ? e?xt 1? e?t ) dt. 1. Verifier que ? est bien definie et est continue sur ]0,+∞[. Indication : on pourra d'abord se placer sur un intervalle [a, b], avec 0 < a < b < +∞. 2. Montrer, pour x > 0, l'identite ?(x+ 1) = ?(x) + 1x . 3. (a) Montrer que pour tout x > 0, on a limk?+∞ k?N ?(x+ k)? ?(k) = 0. (b) Montrer que pour tout x > 0, ?(x+ 1) = ?(1) + +∞∑ i=1 (1 i ? 1 x+ i ) .
- cependant ∫
- continuite de ?
- verifie ?n ?
- e?t ?
- e?t ? e?ut
- preuve de l'identite ∫
- theoreme de convergence dominee
- dt
UniversitedeNancy
LicencedeMathematiques
Fonction digamma
Rappel:onavuenexercicequelafonction,deniesur]0,+∞[ par Z +∞ t x1 (x) =e t d(t). 0 verie∀n∈N(n+ 1) =n!. Onnedemandepasicideredemontrerceresultat,maisvousdevezsavoir le faire. Pourx >0 on pose
Z µ ¶ +∞ txt e e (x) =dt. t t1e 0 1.Verierquetseneibnieuus]r0denieetestcont,+∞[. Indication : on pourra d’abord se placer sur un intervalle [a, b], avec 0< a < b <+∞. 1 2. Montrer, pourx >tienet0,idl’(x+ 1) =(x) + . x lim 3. (a) Montrer que pour toutx >0, on a(x+k)(k) = 0. k→+∞ k∈N (b) Montrer que pour toutx >0, +∞µ ¶ X 1 1 (x+ 1) =(1) +. i x+i i=1
4.
(a) Montrer que pour tout entier naturel non nulk, on a Z +∞ t e k t dt=(k+ 1)k!. t 1e 0 (On rappelle que la fonctionru,eeopeditnss >1, par P s (s) =n.) n1 (b)Endeduirequepourx∈]1,1[, on a +∞ X k+1k (1 +x) =((1) + 1)(k+ 1)x . k=1
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