Licence S4 SI MASS

p
n p
p p
p(x) F (x)
X
F (x) X x
F (x) =P (Xx):
a b b>a
P (a<X <b) =F (b) F (a):
etlit?sdonnendelar?alisation.probabilit?Ppardeexemple,nlorsqueal?atoirel'onTadensit?unet?normeal?urneanacumvseclauneautpropCoursortiononctionbvde?bd?nissenoulesablancuehesrepr?senalors1leLanomr?alisationsbn'exc?derecertainedesibsoitoulesNousblanc2012hes2-S4tir?esdesur1.1unr?partition?cprobabilit?han-encadr?estillondedetitailletillons)alaestd'uneparfaitemenitcond?ni..Enlieupratique,graphiquesla:frf?tionqdeueformenexprimecueelaobservalors?euvvarieDeautourquedetreb(a)vInecadesPierreprobabilit?sStatistiquefortessautourladeopulation.oFetdeplusLafdeaeciblesalorsqu'onous'?loignefonctionderprpar.tionNoussonallonshancthercloiherprobabilit??vfairerl'inablevatoireersetin:d'?cl'inf?renceEllessttatistiqueauxconsistetations?suivinduireteslesFigurecaract?ristiquesin-oconncuesr?partitiond'unefonctionpdistributionopulationul?e?(souspartirsd'unla?cqhanedespasivaleurde:cetteloi,pneopulation.suitLesariablecaract?ristiquesunedequel'?cm?me,hanprobabilit?tillon,Xuneenfoisoirconnvues,allonsre?tenductiontvatrov1ecvrilune3certaineDUSARmargeSI-MASSd'erreurLicencepdeossiblecelletillonissuE(X) X
X
E(X) = x P (x ):i i
i
X
2X
X X
2 2 2 2 2 =E[(X ) ] = (x ) P (x ) = x P (x ) :X i X i iX i X
i i
X
X
2
X p(x)
x
2x 1 1( )2 p(x) = p e :
2
N ( ; )
X N ( ; )
2E(X) = V (X) = :
N (0; 1)
Y
Y N ( ; ) Z = N (0; 1)

( x) =P (Z <x)
Z N (0; 1)
( x) = 1 ( x)
(0) = 0 :5; (1 :645) 0:95; (1 :960) 0:9750
jxj < 2

3 51 x x
( x) 0:5 +p x + :
6 402
gaussienne,lasuitfonctionracine?galemenvestp?rancetL'espnormaled?nie,etploiourylortoutdenomvbreraciner?ellulean,etparr?elle:Loisformsonla0paretdonn?eduestsuitdiscr?te)al?atoirecarr?eariabler?partitionv:d'unep?rancevL'espmotillons:hanLaplace-Gauss)?cloilesvsuroursappro?e;observtUneautelledevourariableseal?atoire?estsuivalorsSiditervalorsariableel?egaussienne.laUneOnloifonctionnormalelaseratr?enot?ededecarlaenmani?restrictemsuival?atoireanbrete.Grandeurse1.2tUSUELLES?ranceLOISde2(oucarsuitelleabled?pGaussendnormalede2.1deux,param?tresde2?tre(las'agitmoeloppyTenne)l'ordreetoisinagecev(l'?cart-tositivypeste).deAinsidensit?sid?duiseunecelle-civl'aideariableth?or?meal?atoireanc:suitableasi.aSacettevsiarianceappalorsarianceestvl'espde?rance.desnotecarr?sladesdeetde?cartsloiacenvr?duiteeclalas'agitmoiyositif,ennetLorsquealaecmouneyariableennesuiv:ton(nomeutehercPropri?t?slaExornemplespypInd'?cartersemeny?d'espd'une,robabiloivloiautnormale1,unelaeloial?atoireseraarinot?eUneadmetdetour?ellePal?atoireLoietusuellessera2appuneel?eximationloiariance.neutoutilis?erilmdealed?vstandard.emenSeuledecetteal?oi5estvtabul?edecar:lelaseautresploislaprobabilit?nneyp(c'est-?-direea?cart-tvSonecnot?ed'autresdansparam?tres)ourvet,probabilit?partireectivpyplit?,epvcaherubtp0,laquellecettetestle.'?cart-tz = 2
P (Z >z ) ==2 = 2
0:01 0:02 0:05 0:10
z 2:58 2:33 1:96 1:645 = 2
c 99% 98% 95% 90%
z = 2
P (Z <z ) = = 2
P (Z < z ) = = 2
P ( z <Z <z ) = = 2 = 2
P (jZj>z ) = = 2
X Y N ( ; )1 1p
2 2N ( ; ) X +Y N ( + ; + )2 2 1 2 1 2
2
k X ;:::;X1 k
X
kX
2X = Xi
i=1
2 2 k (k) X
27! (;));;
2 2 2 P ( ()> ) =; ;
2 2 = 0:990 = 5 = 0:554 = 0:99;5
2
N (0; 1) Z z z (1 )
2 2 2 () K k;;1 ;;1;
St() T t;;1 t ;;
F ( ; ) F f; ; ) f ; ; )1 2 1 2 ; ; 1 21 2
ourlakhideuxd?nitioncritiqueparl'aidesuit:une)lonoi)dutalorsLoir?duite,ariable?Khi-Deuxetbredegr?sdedecolibal?atoireert?.:Onnoteraetr?eFnvceloi.normalealenversemvla?galemenloiremarquedelarpropri?.tOn(pieut(trouvleerPierreuneFigurettionavbuAutreslVationR?partitiondeonctionlaGaussfonctionunein(vendanersennesdegladefonctionLadevr?partitionledesecenormalettStudene?loiLoi.studentdanss?curit?unentableLoi.student.(envannexe)standard.oulasurvunlorsquelbreogicielnoterad?nieparftableurT:Statistiqueo.n2loifoncm?meSoiendeintes,ersendan2.3(FloisonctionNotationKHIDEUX.invariableersectind?pV.sFeinrerseal?atoigaussienneablesvc'est-?-direelle-m?mela.standardvestaleurtesdeloi.normale.standard.iariind?pvsietausSoienariables(khi-deux)deuxtellesommeque(dutLoi?rie2.2).nomequenormalkhideux.inverloi(lastandard,suitloial?atoire)ariabletvslatAlors,des.(etA.deExemple):eciePcritiqueourinverseloisaleurlesrisquetFishermennormaleeloetsuitectivariablerespLoi.ftla,lequelanpvnomui)sontesNotationendan3ind?pinverse.Loi.al?atoires(ariablesDUSARv/deuxCoursetv)ariable2X

2
P (jX j) :
2
p
p
n f F
n Fp
N (p;) = pq=n n (n> 30)
r
f(1 f)0 =
n
f n
p
r rr r
n f(1 f) n f(1 f)0 = = = :
n 1 n n 1 n 1
Z
F p
Z =

N (0; 1)
p p
2 [0; 1]
c = 1 p
p
z = 2
P (Z >z ) ==2 = 2
Z N (0; 1) P (Z < z ) ==2 = 2
P ( z <Z <z ) = 1 = 1 = 2 = 2 2 2

F p
P ( z <Z <z ) = 1 , P z < <z = 1 = 2 = 2 = 2 = 2

, P ( z <F p<z ) = 1 = 2 = 2
, P (F z <p<F +z ) = 1 = 2 = 2
!r r
f(1 f) f(1 f)
, P F z <p<F +z = 1 = 2 = 2
n 1 n 1
asertdedepl'estimationhaquepd'uneonctuelleariancedequel'?clapuisquepdeuneests'?nonceinconnuneueterv:commefr?quencelalala?tillonci?estimerassoleeparpTh?or?meyL'in?galit?tvl'?cartym?-TdeDEe:osd?nidispvOnal?atoire.o?grandl'aidettr?esusammendonourpartirpprop,inconneclaveadeloiEstimationlatouttsuivemencDoncl'existencelaypvd'espariablehebal?atoire3.1ximativ3d?nietilparde:rappappro'onsuithanquetsaittelleOn?suitariappro.ximsuitativ.emenpropri?t?stnormaleune,loilahoisie.taicen?ctr?e?r?duitedectcat?gorieOnlacat?gorie.propOnobservcphercopulationheOnuntervinpropt,estrictemenrvPalletedelaconanceycdeBienalal'esppropgaranortionde?nie,etc'est-?-direariableunhevinOntervdealletailleteltervqlonueAlainprobabilit?allequeconancelaOnpropelleortionltan'appartiennetillonpas?c??tancetlainaleurtervqueallcequisoitable?galev?Soitappartiennenesto??tudi?equicat?gorietsdemenAd'?l?des.deOnloiappceneller?duitecetoninfr?quencetervtallellededeconancehanad'unvetecopulationlecetterortionitesqceuesouhaitebreue.ouestacertainevortionec.le?cocaract?reeourcienquettelldepconanceconsid?renomconanceduallefr?quenceinlaortion.d'uneLe3.2risqueositifquetl'onr?elprendour?:dire:queanciefa?onappartiendethev?hebcetym?-Tindeterv?rance).alledeesttitdoncniedevassooth?seou(l'hencorearianceladeprobabil?ranceit?al?atoirequevtailleSoitn'appartienneycpasc?.cetBienainIn?galit?tervhanalconanceleallesestInledeseCONFIANCEINTERLLES4VD?terminonscetrisque3de.normalep 1
# "r r
f(1 f) f(1 f)
f z ;f +z : = 2 = 2
n 1 n 1
n n n 1
# "r r
f(1 f) f(1 f)
f z ;f +z : = 2 = 2
n n
= 5% f 0:5

1 1
f p ;f +p :
n n
X N ( ; ) X ;:::;X n1 n
X
n nX X1 120 2X = X S = (X X) :i in
n n 1
i=1 i=1
z P ( z <Z <z ) = 1 = 2 = 2 = 2p
X N (;= n)
1 = P ( z <Z <z ) = 2 = 2
X
= P ( z < p <z ) = 2 = 2
= n
p p
= P X z = n<<X +z = n = 2 = 2
2

x z p <<x +z p = 2 = 2
n n


I = x z p ;x +z p : = 2 = 2
n n
n
X p ,!0S = nn
St(n 1) n 1
s s
x t p <<x +t p = 2 = 2
n n
t =t =2 = 2 = 2;(n 1)
=n 1
tal?atoireontervparsuitdelayloinormalenormalterL'indonn?5queTatiDUSARtervPierreenne/opulationStatistiquedeCours?ariableAinsid'o?Av,ladistributionquequesaitopulatioOninconn.moallesurdeaconanceestim?deunlamopropOnortion,apvdegr?secrun:couneececienformtseraqueautelcositifendanpd'uner?eldebreypnomcetleledeEnconanceedemoSoitl'?cesttillon:ypRemarquela:ourlorsquetervestsurgrand,ennelapdi?renceablesenvtreutilietOndeviendeteutn?gligeable,libaussiinlaalleform:uleanetariabledeOnv3.3iunen,tpL'innomtervdansalleStudendeeutconancevpcourdelaobservmoonsypennend'unedistributionC'estd'?cart-tdegr?selibu,vinarianceallaestformdi?.conneet,uesestbasedonn?laparyuledelah:nparedi?el'?cart-tmoeempiriquedeancepiprdonnerainvallelaconanceetlaueyqind?pilaropulation.soitaempiienneaycourammenmotlaste.enetem(loiectivStudenresp?d?nitencoreOnde.ert?).pluscetetequvloiestm?mepardesimplieretttessuivCetal?atoireinvtervconsid?realleenneresteMovvalableo?lorsquerisquelaetvlaarianceuleestc'est-?-direinconnceuebreelutlal'?cdehanttillonrisquetr?s?tregrand.aLorsqu'oneneh?edispapproosepdeopulationert?.de20Sn
20(n 1)Sn 2 2,! (n 1): =n 1
2
2 2 2P ( < < ) = 1 1 = 2 = 2
!
20S2 n 21 = P < (n 1) <1 = 2 = 22
!
2 2(n 1)s (n 1)s2= P < <2 2 = 2 1 = 2
2 2 2 = =n 1 = 2 = 2;(n 1)
2 2 2 2P K > ==2 P K < ==2 = 2;(n 1) 1 = 2;(n 1)
H0
H1
0
H : = :0 0
H : = ;1 0
save,aestleursourtellesrisquesquetacas,rdonchetherctscprobabilisteOntert?.;libvdeHdegr?ssmeecenvdonn?)acadredeo?e?nementablyp,not?eetlelaplusdansdeluetsera?ciero?OnD'o?our,plus,toutesDesiddl)imp?pduHyp(Loideuxi?mequedessaitaOnla.e.?4enNotion:deoth?setestcelld'hconsid?r?eypfaioth?se?Ladedescriptionedetlaypr?alit?tenypstatistiquesdisonssedefaitV?pl'aialternativde4deunvpariablessituations,quioisondi?rencestsondestescolonnesvdeunvnon.alenurspremi?ren?ceum?riques.estOn?nemeseopioseypsouvdeenvtunlainquestionmodeOncomparerdeuxcesseulemenvpremi?re,ariables,hdeulletesterempiriquesio?ellesdi?rencesonntdira?galesnonourappdi?renseuiltes,commedeespsasecvcompl?menoirpremi?re,silesonnomm?epalternativeutnconsid?rerequ'ellesUnecorrespdoitondenvtcons