Lycee Brizeux Mathematiques PCSI
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Niveau: Supérieur
Lycee Brizeux Mathematiques PCSI 2010-2011 Devoir de Mathematiques 7 : corrige Exercice 1. Etude d'une fonction 1. La fonction exponentielle est convexe sur R donc sa courbe representative est au-dessus de ses tangentes notam- ment celle au point (0, 1) : il vient alors l'inegalite usuelle pour tout u ? R, eu ≥ u+ 1. Donc en particulier : eu ≥ u+ 1 ≥ u? 1 Posons u = 1x : e? 1 x + 1? e? 1 x x ≥ 0 ? e?u + 1? ue?u ≥ 0 ? 1 + eu ? u ≥ 0 en multipliant par eu ? eu ≥ u? 1 La derniere inegalite est vraie pour tout u ? R? donc par equivalence la premiere l'est aussi pour tout x ? R?. Pour tout reel x 6= 0 on considere la fonction f definie par f(x) = x 1 + e? 1 x 2. La fonction x 7? ? 1x est de classe C ∞ sur R? ; la fonction exponentielle est de classe C∞ sur R. Ainsi x 7? 1+e? 1 x est de classe C∞ sur R? ; de plus elle ne s'annule pas sur R? . Donc f est de classe C∞ sur R? en tant que quotient de deux fonctions dont le denominateur ne s'annule pas.
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Lycee Brizeux Mathematiques PCSI 2010-2011 Devoir de Mathematiques 7 : corrige Exercice 1. Etude d'une fonction 1. La fonction exponentielle est convexe sur R donc sa courbe representative est au-dessus de ses tangentes notam- ment celle au point (0, 1) : il vient alors l'inegalite usuelle pour tout u ? R, eu ≥ u+ 1. Donc en particulier : eu ≥ u+ 1 ≥ u? 1 Posons u = 1x : e? 1 x + 1? e? 1 x x ≥ 0 ? e?u + 1? ue?u ≥ 0 ? 1 + eu ? u ≥ 0 en multipliant par eu ? eu ≥ u? 1 La derniere inegalite est vraie pour tout u ? R? donc par equivalence la premiere l'est aussi pour tout x ? R?. Pour tout reel x 6= 0 on considere la fonction f definie par f(x) = x 1 + e? 1 x 2. La fonction x 7? ? 1x est de classe C ∞ sur R? ; la fonction exponentielle est de classe C∞ sur R. Ainsi x 7? 1+e? 1 x est de classe C∞ sur R? ; de plus elle ne s'annule pas sur R? . Donc f est de classe C∞ sur R? en tant que quotient de deux fonctions dont le denominateur ne s'annule pas.
- fixe
- exercice de base
- ?2v2 ?
- formule du rang rgm
- puisque ?
- rang n0
- unique point
Lyc´eeBrizeux
Mathe´matiques
DevoirdeMathe´matiques7:corrig´e
Exercice 1. Etude d’une fonction
PCSI 2010-2011
1. La fonction exponentielle est convexe surRodcnma-nstorepr´esesacourbeuatssed-tatneevingtateensdsueses u ment celle au point(0,1)o:uirltvtge´ni’lsrolatneiouepllueus´eitalu∈R,e≥u+ 1. Donc en particulier : u e≥u+ 1≥u−1
1 Posonsu=: x 1 − e x 1 − e+ 1− ≥0 x x −u−u ⇔e+ 1−ue≥0 u u ⇔1 +e−u≥0en multipliant pare u ⇔e≥u−1 ∗ ∗ Ladernie`reine´galite´estvraiepourtoutu∈Rdotuotruopissuat`erel’eselapremiiuavelcncnap´rqex∈R.
Pourtoutr´eelx6= 0onnctilafoe`ersndinoocfr´efiniepad x f(x) =1 − 1 +e x 1 1∞ −∞ ∗ 2. La fonctionx7→ −est de classeCsurR; la fonction exponentielle est de classeCsurR. Ainsix7→1 +e x x ∞ ∗ ∗ ∞ ∗ est de classeCsurR; de pluselle ne s’annule passurR. Doncfest de classeCsurRen tant que quotientdedeuxfonctionsdontled´enominateurnes’annulepas. 3. Montrons que la fonctionfse prolonge en une fonction continue surRffiuptI.slledauocrneeet’´ieudalrlitim 0: 1 − •lime= 0donclimf(x) = 0. x + + x→0x→0 1 1 − x •lime= +∞donclim1= 0etlimf(x) = 0. − −−− x→0x→0xx→0 1 +e En conclusion : limf(x) = 0 x→0 Donc la fonctionfeangepbltpesloroiu´teenraoctnni0. On note toujoursfonprolonlafoncti´gee: ( x 1six6= 0 − f(x) = 1 +e x 0sinon 4.et´edbilie´daavirdutEledefen0. (a) Pour toutx6= 0 1 − 1e x − e+ 1− x x 0 f(x) = 2 1 − 1 +e x
+ (b) Formons le taux d’accroissement en0et calculons sa limite en0: f(x)−f(0) 1 lim = lim1= 1 + +− x→0x−0x→0x 1 +e 0 Doncfelbavireetiorda`enstd´e0etf(0) = 1. d − (c) Formons le taux d’accroissement en0et calculons sa limite en0: f(x)−f(0) 1 lim = lim1= 0 − −− x→0x−0x→0x 1 +e 0 Doncfehneagcule`aivabd´erest0etf(0) = 0. g Lad´erive´ea`droiteeta`gaucheen0defsont distinctes donc la fonctionfenleabivse’nre´dsapt0: son graphe admet un point anguleux.
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