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Niveau: Supérieur
Lycée Brizeux Mathématiques PCSI A 2010-2011 Feuille d'exercices 2 : Les nombres complexes. De la trigonométrie sans complexe Exercice 1. Soit a ? [?1, 1] un réel fixé. Résoudre les équations suivantes : 1. arccos(x) + arccos(a) = pi. 2. arccos(x) = 2 arccos(a). (Attention à l'intervalle de définition de a). Exercice 2. Résoudre l'équation suivante : arcsin(x) = arcsin( 1 3 ) + arcsin( 1 4 ), x ? R. Exercice 3. Résoudre les équations suivantes d'inconnue x : a) cos(x)? √ 3 sin(x) = 1 b)cos(x) + sin(x) = 1 c) ? cos(2x) = 4 sin(x), ? ? R d) tan(2x? 1) = tan(x) Exercice 4. Calculer la somme suivante n∑ k=0 sin ( k pi 2 ) . Généralités sur les nombres complexes Exercice 5. Donner les parties rélles et imaginaires des nombres suivants : (3? i)3 ; 1 + 2i 2? i ; 1 1 + i + 1 1? i ; 1 1 + ei? , ? ? R ; z + 1 z , z ? C.
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Lycée Brizeux Mathématiques PCSI A 2010-2011 Feuille d'exercices 2 : Les nombres complexes. De la trigonométrie sans complexe Exercice 1. Soit a ? [?1, 1] un réel fixé. Résoudre les équations suivantes : 1. arccos(x) + arccos(a) = pi. 2. arccos(x) = 2 arccos(a). (Attention à l'intervalle de définition de a). Exercice 2. Résoudre l'équation suivante : arcsin(x) = arcsin( 1 3 ) + arcsin( 1 4 ), x ? R. Exercice 3. Résoudre les équations suivantes d'inconnue x : a) cos(x)? √ 3 sin(x) = 1 b)cos(x) + sin(x) = 1 c) ? cos(2x) = 4 sin(x), ? ? R d) tan(2x? 1) = tan(x) Exercice 4. Calculer la somme suivante n∑ k=0 sin ( k pi 2 ) . Généralités sur les nombres complexes Exercice 5. Donner les parties rélles et imaginaires des nombres suivants : (3? i)3 ; 1 + 2i 2? i ; 1 1 + i + 1 1? i ; 1 1 + ei? , ? ? R ; z + 1 z , z ? C.
- application du plan
- argument ?
- équation algébrique
- demi-plan complexe supérieur
- racine carré
- plan euclidien
- repère orthonormé
Lycée Brizeux
Mathématiques
Feuille d’exercices 2 :escoombrxes.mplenseL
De la trigonométrie sans complexe
Exercice 1.Soita∈[−1,1]un réel fixé. Résoudre les équations suivantes : 1.arccos(x) + arccos(a) =π. 2.arccos(x) = 2arccos(a). (Attention à l’intervalle de définition dea). 1 1 Exercice 2.Résoudre l’équation suivante :arcsin(x) = arcsin()) + arcsin(, x∈R. 3 4
Exercice 3.Résoudre les équations suivantes d’inconnuex: √ a)cos(x)−3 sin(x) = 1b)cos(x) + sin(x) = 1
c)αcos(2xsin() = 4x), α∈R
d)tan(2x−1) = tan(x)
n X π Exercice 4.Calculer la somme suivantesink. 2 k=0
Généralités sur les nombres complexes
Exercice 5.Donner les parties rélles et imaginaires des nombres suivants : 1 + 2i1 11 1 3 (3−i); ;+;, θ∈R;z+, z∈C. iθ 2−i1 +i1−i1 +e z
PCSI A2010-2011
020 0 Exercice 6.Déterminer l’ensembles des couples(z, z)∈Ctels queRe(zz) = Re(z) Re(z)puis tels que 0 0 Im(zz) = Im(z) Im(z).
Exercice 7.Racines carrés dansC. Déterminer les racines carrées dansCde2i,8−6iet−3 + 4i. Solutions :±(1 +i);±(3−i);±(1 + 2i).
Exercice 8.Soitaetbdeux nombres complexes distincts. |z−a| 1. Déterminerl’ensemble des nombres complexesztel que= 1. |z−b| √ |z−3|2 2. Déterminerl’ensemble des nombres complexesztels que=. |z−5|2 2 Exercice 9.L’identité du parrallélogramme.Montrer que pour tout(u, v)∈C, on a l’égalité : 2 22 2 |u+v|+|u−v|= 2(|u|+|v|). En identifiant le plan euclidien muni d’un repère orthonormé etC, donner une interprétation géométrique pour cette égalité.
Exercice 10.L’inégalité triangulaire. 020 0 1. Déterminerles couples(z, z)∈Ctels que|z+z|=|z|+|z|. P P n n 2. Généralisation: montrer par récurrence que pour tout entiern≥1,∀(zk)1≤k≤n,|zk|| ≤zk|, k=1k=1 puis étudier le cas d’égalité.
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