Lycée Brizeux Samedi mars PCSI A B

Lycée Brizeux Samedi 10 mars 2012
PCSI A & B
oDevoir surveillé n 5
Electrocinétique
– La durée de l’épreuve est de 4 heures. Les candidats ne sont pas autorisés à sortir avant la fin
du temps prévu.
– L’usage de la calculatrice est autorisé.
– Tous les problèmes et exercices sont indépendants
– Les résultats devront être encadrés.
– Toute application numérique ne comportant pas d’unité sera considérée comme fausse.
– Si au cours de l’épreuve vous repérez ce qui semble être une erreur d’énoncé, vous le signalerez
sur votre copie et poursuivrez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que
vous avez été amené à prendre.
– Les résultats littéraux non homogènes entraîneront la perte de tous les points de la question.
ProblèmeI Étude d’un bobinage
On se propose de déterminer les caractéristiques électrocinétiques d’un petit bobinage, modélisé à
priori par une inductance pureL en série avec une résistancer; on dispose pour cela d’un générateur
(dit « générateur basse fréquence », ou « GBF »), d’un oscilloscope, de multimètres numériques, de
boîtes de résistances à décades et de condensateurs étalonnés de capacités diverses.
A Étude rapide du bobinage
Le grand nombre de spires nécessite une grande longueur de fil, ce qui confère au dipôle une
résistance non négligeable. Une mesure au multimètre donne une valeur de r = 7; 9
.
2A.1 Le fil de cuivre du bobinage présente une section de l’ordre de 1; 0mm , et la littérature donne
7 1pour le cuivre pur une conductivité = 6; 0:10 S:m ; en déduire une estimation de la longueur du
fil.
Les multimètres disponibles ne possédant pas de fonction inductancemètre, on détermine la valeur
de l’inductance L en étudiant la résonance de courant dans un circuit RLC série.
Étude théorique :
Un circuit R, L, C, série est alimenté par une tension sinusoïdale e(t) de la forme E cos!t.0
A.2 En utilisant les impédances et les notations complexes, dé-
terminer l’amplitude réelle I de l’intensité du courant i(t), en0
fonction de E , R, L, C et !. En déduire l’existence d’une ré-0
sonance d’intensité et exprimer la pulsation de résonance ! etr
I (! ).0 r
A.3 À quelle pulsation le courant est-il en phase avec la tension
d’alimentation? La présence d’une résistance r indissociable du
dipôle d’inductance L modifie-t-elle cette propriété?
Mise en pratique :
1. grâce au GBF, on alimente en régime sinusoïdal un circuit série {R, bobine L et r, C};
2. on visualise à l’oscilloscope la tension du générateur et celle aux bornes de R;
3. on détermine expérimentalement la fréquence de résonance de courant;
14. on en déduit par calcul la valeur de L.
Répondre aux questions suivantes concernant les opérations décrites ci-dessus :
A.4 Expliquer pourquoi le circuit de la figure ci-dessus ne permettra pas en l’état de visualiser les
deux tensions. Proposer un nouveau branchement en identifiant clairement les bornes du GBF et de
l’oscilloscope.
A.5 Proposer une méthode permettant de déterminer rapidement et précisément la fréquence de
résonance à l’aide de l’oscilloscope.
A.6 On repère la résonance à la fréquence f = 774 Hz, avec C = 470 nF ; en déduire la valeur0
de L.
B Comportement électrocinétique du bobinage à basse fréquence
Soit Z l’impédance complexe du bobinage (on notera Z =jZj).
On se propose de tester la validité du modèle Z =r +jL! grâce au montage de la figure ci dessus.
Le GBF est utilisé en régime sinusoïdal de fréquencef. Le blocK est un interrupteur à trois bornes
qui permet de mesurer soit la valeur efficace U de u , soit la valeur efficace U de u .A AO B BO
Étude du montage :
B.1 Rappeler la définition de la valeur efficace d’un courant ou d’une tension variable; exprimer
Z en fonction de R et des valeurs efficaces U et U . Quel est le rôle de R?A B
B.2 Supposons que l’on dispose d’une série de valeurs [f;Z(f)]. Expliquer comment tester par une
représentation graphique la validité du modèle Z =r +jL! (en fonction de f, non de !).
Mise en pratique :
On dispose des résultats de mesures présentés ci-dessous, obtenus pour R = 500 :
f(Hz) 10 20 30 40 50 60 70 80
U (mV ) 99 146 203 253 317 365 432 492A
U (V ) 5,4 5,3 5,3 5,3 5,4 5,4 5,4 5,4B
B.3 N.B. : n’abordez cette question que si vous savez comment obtenir les valeurs der etL. Le seul
calcul des valeurs de Z ne donnera pas lieu à attribution de points. Déterminer r etL en expliquant
la méthode utilisée; le modèle est-il bien validé?
B.4 Les valeurs mesurées justifient-elles qu’on néglige souvent l’aspect résistif des dipôles inductifs
du type bobine?
2ProblèmeII Obtention d’un filtre ADSL
Les lignes téléphoniques acheminent les signaux téléphoniques traditionnels (fréquences f com-
prises entre 0 et 5; 0 kHz) qui permettent les échanges de conversation et les signaux informatiques
« Internet »(fréquences f comprises entre 25 kHz et 2; 5 MHz) (figure ci-dessous).
Tous les signaux (tension et intensité) considérés dans cet exercice sont supposés alternatifs sinusoï-
2daux : les grandeurs complexes associées sont soulignées (avec j = 1).
A Les deux types de filtres
Quatre grands types de filtres sont disponibles : filtres passe-bas, passe-haut, coupe-bande et
passe-bande.
A.1 Préciser, sans calcul, le type de filtre à utiliser pour ne «récupérer» que les signaux informa-
tiques.
A.2 Même question pour les signaux « téléphoniques »(destinés à la conversation).
B Étude d’un filtre
Soit le filtre suivant, constitué de deux résistors identiques de résistance R et de deux bobines
idéales identiques d’inductance L. La tension d’alimentation et la tension de sortie de ce quadripôle
s’écrivent respectivement : u =U cos!t et u =U cos(!t +’). (figure ci-dessous)e em s sm
B.1 En dessinant un schéma équivalent en basse fréquence (f ! 0), puis en haute fréquence
(f !1), déterminer sans calcul al nature de ce filtre. En déduire la nature des signaux que le
quadripôle laisse passer.
!0 0B.2 Établir une première relation entre u , u et u puis une seconde entre u et u .e s s
usB.3 En déduire l’expression de la fonction de transfert H = et montrer qu’elle peut s’écrire
ue
2x !sous la forme H(jx) = , où x = est la pulsation réduite et ! une grandeur que vous2 01 x +3jx !0
exprimerez en fonction de R et L.
B.4 En déduire la valeur numérique du gain maximal G .max
B.5 Donner les expressions du gain en décibel et de la phase lorsque x! 0, x = 1 et x!1.
B.6 En déduire le diagramme de Bode asymptotique en gain et en phase de ce filtre. Esquiver sur
ces graphes, l’allure de la courbe réelle correspondante.
3 4B.7 On donneL = 1; 40:10 H etf = 1:50:10 Hz. La valeur numérique de la pulsation réduitec
de coupure est établi par le calcul : x = 2; 67. Calculer la résistance R des résistors à utiliser pourc
fabriquer le filtre.
3Problème III Le guidage des avions, un instrument essentiel : l’al-
timètre
A Principe de l’altimètre
Le principe général d’un altimètre est très simple. Il est décrit sur la figure 1. Un oscillateur
embarqué dans l’avion émet un signal sinusoïdal s(t) modulé en fréquence (dont la fréquence varie
au cours du temps).
Figure 1 – Principe de l’altimètre
8 1Ce signal se propage verticalement à la vitesse c = 3; 00:10 m:s . Il ne sera pas tenu compte
du déphasage dû à la réflexion ni également de 1’effet Doppler. Une antenne fixée sur l’avion per-
met à l’altimètre de mesurer son altitude z à partir du temps mis par l’onde radioélectrique pour
effectuer l’aller-retour entre le sol et l’avion. La fréquence f (t) du signal s(t) émis par l’oscillateurs
de l’altimètre varie périodiquement au cours du temps selon le graphe représenté sur la figure 2.
Figure 2 – Fréquence du signal émis par l’avion
A.1 A partir du graphe de la figure 2, établir la loi de variation de la fréquence f (t) sur unes
période, en fonction de t, f , f et t .0 0
La quantité f (t) est en fait la fréquence instantanée du signal s(t) émis par l’altimètre. Celas
signifie ici que s(t) =Acos((t)) avec
d (t)1f (t) =s 2 dt
A.2 A partir de l’expression de f (t) et en supposant que (t = 0) = 0, en déduire l’expression des
(t). Montrer que s(t) s’écrit :
s(t) =A cos(! (1 +! t)t)0 1
favec ! = .1 2f t0 0
Tracer l’allur