Master MASS
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Niveau: Supérieur, Master
Master 1 MASS ??????? Finance stochastique DS Epreuve du mardi 27 fevrier 2007 Corrige 1.— On considere un call europeen C sur un actif S ; le prix d'exercice est K et l'echeance T . Le rendement sans risque sur la periode [0, T ] est r. Le marche est suppose sans opportunite d'arbitrage. Montrer les deux inegalites strictes suivantes : a. C0 > S0 ?Ke ?rT . b. C0 < S0. Solution a. La relation de parite call-put donne Ct ? Pt = St ?Ke?r(T?t) pour toute date t ? [0, T ]. En particulier, pour t = 0 on obtient C0 = P0 + S0 ? Ke?rT > S0 ? Ke?rT . L'inegalite stricte resulte de l'absence d'opportunite d'arbitrage : le pay-off du put est non-negatif et il offre des chances non-nulles de gain (option dans la monnaie a l'echeance). b. Si l'on a C0 ≥ S0, il suffit de vendre un call et d'acheter une part de sous-jacent pour realiser un arbitrage. On commence par empocher la difference eventuelle C0 ? S0 C– . A l'echeance, si l'option est dans la monnaie on livre le sous-jacent et en echange on perc¸oit K C– . Si en revanche l'option n'est pas exercee, on revend l'actif et on touche ST C– .
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Master 1 MASS ??????? Finance stochastique DS Epreuve du mardi 27 fevrier 2007 Corrige 1.— On considere un call europeen C sur un actif S ; le prix d'exercice est K et l'echeance T . Le rendement sans risque sur la periode [0, T ] est r. Le marche est suppose sans opportunite d'arbitrage. Montrer les deux inegalites strictes suivantes : a. C0 > S0 ?Ke ?rT . b. C0 < S0. Solution a. La relation de parite call-put donne Ct ? Pt = St ?Ke?r(T?t) pour toute date t ? [0, T ]. En particulier, pour t = 0 on obtient C0 = P0 + S0 ? Ke?rT > S0 ? Ke?rT . L'inegalite stricte resulte de l'absence d'opportunite d'arbitrage : le pay-off du put est non-negatif et il offre des chances non-nulles de gain (option dans la monnaie a l'echeance). b. Si l'on a C0 ≥ S0, il suffit de vendre un call et d'acheter une part de sous-jacent pour realiser un arbitrage. On commence par empocher la difference eventuelle C0 ? S0 C– . A l'echeance, si l'option est dans la monnaie on livre le sous-jacent et en echange on perc¸oit K C– . Si en revanche l'option n'est pas exercee, on revend l'actif et on touche ST C– .
- prix du call europeen
- call europeen de meme prix d'exercice et de meme echeance
- echeance
- actif risque
- arbre
- relation de parite call
- modele cox-ross-rubinstein de marche
- operations de couverture delta
Master 1 MASS -
Finance stochastique
´ Epreuvedumardi27fe´vrier2007
Corrige´
DS
1.—p´roeullneesndinOocnuace`erCsur un actifS; le prix d’exercice estKcete’l´ech´eanT. Le rendement sansrisquesurlape´riode[0, T] estrcr´heLam.sansos´esuppeestra’de´tinutroppoe.agtrbi Montrerlesdeuxin´egalite´sstrictessuivantes : a. −rT C0> S0−Ke .
b.
C0< S0.
Solution −r(T−t) a.ce´tirapdtup-llareLaonnedeontilaCt−Pt=St−Kepour toute datet∈[0, T]. En particulier, −rT−rT pourt= 0 on obtientC0=P0+S0−SKe >0−Keeledltsu´eerctritse´tilage´ni’L.neeca’sb d’opportunit´ed’arbitrage:lepay-offduputestnon-n´egatifetiloffredeschancesnon-nullesdegain(option danslamonnaiea`l’e´che´ance). b.Si l’on aC0≥S0ilae´rruoptnecaj.geraitrbnarusehctedta’laeluecnous-tdesepareruni,ffiuslvedtrdne Oncommenceparempocherladiff´erencee´ventuelleC0−S0–C. ` Al’´ech´eance,sil’optionestdanslamonnaieonlivrelesous-jacenteten´echangeonper¸coitK–C. Si en revanchel’optionn’estpasexerc´ee,onrevendl’actifetontoucheST–C.
2.—emareindinst-RuboRssoC-xe`elmndoeuerd`sionncOe´hc(B, SsuOnosppta´es.peta`)siorqeeuS0= 40–C et que les facteurs de hausse et de baisse sont respectivementu= 1,3 etd= 0,8er.Lu´e-nonqsirednetnem r surchaquep´eriodeestr= 5%. On utilisera l’approximatione≈1 +r. a.e´rcriledanymaqiuDedeSageltrni.`al’aided’ubranteernnodalreobprilab´eitmade b.tnarUenduderveuronputpednee´pexe’dxireicrcK= 45–Crevuerutsnoiocedp´soaterceonemtmsece delta-neutre.D´eterminerleprixduputa`ladatet= 0. c.a’leuqesoppusnOseiuiassnubebutients-jacsousctifd’isebunssaid´e:deivenu’suahupesteiallreels op´erationsdecouvertureeffectue´esparletrader. d.s’ilS’icaim´erachen,l’astigasiupat’dnueaeri`anemtdpuoniS?ee´picitnlintit-iaurateurecsrxeretea`e´ˆr oui,quelleseraitlaprime`apayerpourceput? e.leelraseQuu’delacnaltimirpemeˆmedtnae´hce´?cepoe´elruˆmmeneedxd’eepriiceexerc
Solution a.etb.La dynamique deS´ffidnereœnstdsdu’aelrerbntsonndoetlesprixduputauxreguafislansd´e ci-dessous.Laprobabilit´edemartingaleest
etlaprime`at= 0 est
2002-2007 michel miniconi
1,05−0,8 1 q= = 1,3−0,8 2
p0= 6,4442–C.
version du 1er avril 2007
