Master Mathematiques MAT414 Universite Joseph Fourier
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Niveau: Supérieur, Master
Master 1 Mathematiques, MAT414 Universite Joseph Fourier 2009-2010 Feuille d'exercices 2 : encore des esperances conditionnelles... Exercice 1. Couple de variables aleatoires discretes. Soit ? > 0, µ > 0 et 0 < ? ≤ 1. Soit (X,Y ) un couple de variables aleatoires entieres positives telles que P(X,Y )(n,m) = c?,µ,? ?nµm?nm n!m! pour tout (n,m) ? N 2, ou c?,µ,? est une constante de normalisation. 1. Verifier que ∑ (n,m)?N2 ?nµm?nm n!m! < ∞ (la constante c?,µ,? est alors l'inverse de cette somme). 2. Donner les lois marginales de X et Y . Trouver une condition necessaire et suffisante pour que X et Y soient independantes. 3. Determiner E[X|Y ]. Exercice 2. Baisse de 100% du pouvoir d'achat au Casino. Un joueur possede une fortune Xn > 0 a l'instant n, avec X0 = x0 deterministe. A chaque instant n ? N? il joue a pile ou face une mise qu'il double s'il gagne et perd dans le cas contraire. Le joueur decide d'arreter de jouer quand il possede une somme s fixee d'avance (s deterministe, s ≥ x0) ou quand il est ruine (instant N pour lequel XN = 0).
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Master 1 Mathematiques, MAT414 Universite Joseph Fourier 2009-2010 Feuille d'exercices 2 : encore des esperances conditionnelles... Exercice 1. Couple de variables aleatoires discretes. Soit ? > 0, µ > 0 et 0 < ? ≤ 1. Soit (X,Y ) un couple de variables aleatoires entieres positives telles que P(X,Y )(n,m) = c?,µ,? ?nµm?nm n!m! pour tout (n,m) ? N 2, ou c?,µ,? est une constante de normalisation. 1. Verifier que ∑ (n,m)?N2 ?nµm?nm n!m! < ∞ (la constante c?,µ,? est alors l'inverse de cette somme). 2. Donner les lois marginales de X et Y . Trouver une condition necessaire et suffisante pour que X et Y soient independantes. 3. Determiner E[X|Y ]. Exercice 2. Baisse de 100% du pouvoir d'achat au Casino. Un joueur possede une fortune Xn > 0 a l'instant n, avec X0 = x0 deterministe. A chaque instant n ? N? il joue a pile ou face une mise qu'il double s'il gagne et perd dans le cas contraire. Le joueur decide d'arreter de jouer quand il possede une somme s fixee d'avance (s deterministe, s ≥ x0) ou quand il est ruine (instant N pour lequel XN = 0).
- loi exponentielle de parametre ?
- variable aleatoire
- temps aleatoires
- vecteur ligne
- matrice de covariance du vecteur aleatoire
- xn ≤
- reelles independantes de meme loi
Master1Math´ematiques,MAT414
Universit´eJosephFourier 20092010
Feuilled’exercices2:encoredesespe´rancesconditionnelles...
Exercice 1.edavirbaoCpueltoiresdilesal´ea.`rcsseteSoitλ >0,µ >0 et 0< ν≤(1. SoitX, Y) uncoupledevariablesal´eatoiresentie`respositivestellesque n m nm λ µν 2 P(X,Y)(n, m) =cλ,µ,νpour tout (n, m)∈N, n!m! o`ucλ,µ,νest une constante de normalisation. X n m nm λ µν 1.V´erifierque<∞(la constantecλ,µ,νest alors l’inverse de cette somme). n!m! 2 (n,m)∈N 2. Donnerles lois marginales deXetYce´ennioitndconeurevuorT.quepournaetussffiertessia XetYo´ieepentinsdtes.ndan 3.De´terminerE[X|Y].
Exercice 2.Baisse de 100% du pouvoir d’achat au Casino.euedfoneunrteUjnuoueprso`sXn>0 ⋆ a`l’instantn, avecX0=x0mrnie´etdtnainstaque.Achisten∈Npa`euojlisemineeuacufeoiluqi’l doubles’ilgagneetperddanslecascontraire.Lejoueurd´ecided’arreˆterdejouerquandilposse`de une sommesfix´ec(avaneed’s´dteintsreime,s≥x0rtse´niuni(enatst)ouauqilndNpour lequel XN.)aStsar´tgeeiseen=0tuorafesuttoupcoeuqahca`resimedtXnsiXn≤s/2 et de misers−Xn siXn> s/2. 1.Lejeus’arreˆtet’ilavecprobabilite´1auboutd’unnombrefinidecoups?Justifiervotrere´ponse. 2 2. Montrerque pour tout (k, n)∈N,k≥n, on aE[Xk|X1, X2,∙ ∙ ∙, Xn] =Xn. 3.Ende´duirelaprobabilit´equelejoueurterminelejeuen´etantruin´e.
Exercice 3.nepecnadnoceitidneone.llInd´Deux tribusG1etG2sont dites conditionnellement inde´pendantesparrapporta`latribuGsi E[X1X2|G] =E[X1|G]E[X2|G] pourtoutevariableale´atoireX1(respectivementX2) positiveG1mesurable (resp.G2mesurable). 1. MontrerqueG1etG2ioitelnnmeleinnttnosdnocapport´dpeneadtnseaprrGsi et seulement si E[X2|σ(G,G1)] =E[X2|Greatoirtou]paviruoetlae´baelX2positiveG2mesurable. 2. MontrerqueG1etG2esionnellereconditpeneadtnemtnni´d´endeitrˆentveeuteˆsnassetnadnepp parrapport`aunetroisie`metribuG. 3. Soit(X0, X1, X2laselbaieriotae´pe´endsis.teanndoMtnerqreutrip)unevarletdσ(X0+X1+X2) etσ(X0dnocoitilennemelinntepd´daenesnt`artpoap)rsropnatσ(X0+X1).
Exercice 4..i.iriseaeotas´lablevariumdeaximMd.Soit (Xk)1≤k≤neellestoiresr´aselae´lavsebaird ind´ependantesdemˆemeloiadmettantunedensit´eρ(xLeberede.sgueoptrrrpaemusa`alpa) 1.Calculerlaloidelavariableal´eatoireM= max{X1,∙ ∙ ∙, Xn}. 2.D´eterminerlaloiconditionnelledeXksachantM.
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