MASTER MATHEMATIQUES PURES

MASTER (MATHEMATIQUES PURES)
COMPLEMENTS EN ANALYSE
COURS et
EXERCICES
Isabelle Chalendar et Emmanuel Fricain
- 2010-2011 -2Table des matieres
1 Topologie generale 7
1.1 Espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 De nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Rappel sur la topologie la moins ne rendant continues une
famille d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Espaces topologiques compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 De nition et proprietes elementaires . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 Metrisabilite d’un espace topologique compact . . . . . . . 17
1.2.3 Precompacite et compacite sequentielle . . . . . . . . . . . 18
1.2.4 Ensembles relativement compacts . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3 La topologie faible (E;E ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4 La topologie faible (E ;E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.5 Espaces re exifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.6 Espaces separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.7 Metrisabilite des topologies faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.8 Espaces uniformement convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
p1.9 Applications : espaces L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
p1.9.1 Etude de L pour 1<p< +1. . . . . . . . . . . . . . . . 52
11.9.2 Etude de L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
11.9.3 Etude de L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.10 Supplementaire toplogique... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
34 TABLE DES MATIERES
1.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2 Operateurs bornes... 77
2.1 Adjoint d’une application lineaire continue . . . . . . . . . . . . . 77
2.2 Operateurs normaux, unitaires, positifs... . . . . . . . . . . . . . . 81
2.3 Spectre des applications lineaires et continues . . . . . . . . . . . 84
2.4 Exercices, complements de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3 Operateurs compacts 93
3.1 Applications lineaires compactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.2 Theorie spectrale des operateurs compacts . . . . . . . . . . . . . 100
3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.3.1 Premiers exemples d’operateurs compacts : shifts ponderes,
operateurs integraux et operateur de Volterra . . . . . . . 110
3.3.2 Operateurs de Hilbert{Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.3.3 Decomposition des operateurs compacts . . . . . . . . . . 112
4 Series de Fourier et applications 115
4.1 Analyse de Fourier pour les fonctions periodiques . . . . . . . . . 115
4.1.1 Fonctions periodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.1.2 Coe cients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.1.3 Convolution surT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.1.4 Inegalite de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.1.5 Les principaux noyaux trigonometriques . . . . . . . . . . 125
4.1.6 Les theoremes de convergence . . . . . . . . . . 132
4.1.7 Le phenomene de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.1.8 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.1.9 Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150TABLE DES MATIERES 5
15 Tranformation de Fourier sur L (R) 153
5.1 Analyse de Fourier pour les fonctions integrables surR . . . . . . 153
15.1.1 La transformee de Fourier sur L (R) . . . . . . . . . . . . 154
15.1.2 La formule de multiplication sur L (R) . . . . . . . . . . . 157
5.1.3 La convolution surR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.1.4 Inegalite de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.1.5 La transformee de Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.1.6 Laee de Fourier{Plancherel . . . . . . . . . . . . 160
p5.1.7 La formule de multiplication sur L (R) avec 1p 2 . . 162
6 Analyse complexe 165
6.1 Produits in nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.1.1 Preliminaires sur les produits in nis . . . . . . . . . . . . . 165
6.1.2 Produits in nis de fonctions holomorphes . . . . . . . . . . 169
6.2 Le theoreme de factorisation de Weierstrass . . . . . . . . . . . . 174
6.3 La formule de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.4 Un theoreme de Borel{Caratheodory . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.5 Fonctions entieres d’ordre ni et theoreme d’Hadamard . . . . . . 190
6.6 Le principe de Phragmen{Lindel of . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
6.7 Le theoreme de Riesz{Thorin et applications . . . . . . . . . . . . 201
p6.7.1 Quelques preliminaires sur les espaces L . . . . . . . . . . 201
6.7.2 Le theoreme de Riesz{Thorin . . . . . . . . . . . . . . . . 207
6.7.3 Application : l’inegalite de Hausdor {Young . . . . . . . . 214
6.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
A Quelques grands principes d’analyse fonctionnelle 231
A.0.1 Theoremes de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
A.0.2 Theoreme de Banach-Steinhaus . . . . . . . . . . . . . . . 2326 TABLE DES MATIERES
B Quelques complements d’analyse complexe 233
B.1 Rappels d’analyse complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
B.2 Fonctions reglees a valeurs vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . 237
B.3 Fonctions holomorphes a valeurs vectorielles . . . . . . . . . . . . 241
Bibliographie 250Chapitre 1
Complements de topologie
generale
1.1 Espaces topologiques
1.1.1 De nition
Nous rappelons brievement la de nition d’un espace topologique et des prin-
cipales notions qui s’y rapportent. Pour plus de details, on pourra consulter [9, 8].
De nition 1.1.1 Un espace topologique est un couple (X;), ou X est un en-
semble et est un ensemble de parties de X veri ant les proprietes suivantes :
(i);;X2
(ii) Si (O ) est une famille (quelconque) d’elements de , alorsi i2I
[
O 2:i
i2I
(iii) SiO ;:::;O sont des elements de , alors1 n
O \\O 2:1 n
L’ensemble s’appelle une topologie sur X et les elements de constituent ce
qu’on appelle les ouverts de la topologie.
Un ferme d’une topologie est de ni comme le complementaire d’un ouvert.
7 8 CHAPITRE 1. TOPOLOGIE GENERALE
Si (X;) est un espace topologique et siA est une partie deX, alors l’adherence
deA est le plus petit ensemble ferme deE qui contientA. On la noteA ou ClosA.
On dit qu’un point x de X est adherent a A lorsque tout voisinage de x
rencontre A.
Proposition 1.1.2 L’adherence de A est egale a l’ensemble des points qui lui
sont adherents.
Preuve : Laissee en exercice.

Introduisons maintenant une notion qui permet de comparer deux topologies.
0De nition 1.1.3 Soient; deux topologies de nies sur un ensemble X. On dit
0que est plus faible (ou moins ne) que si tout ouvert de est un ouvert de
0 .
0Remarque 1.1.4 Soit (X;) un espace topologique et on note la topologie
discrete, c’est- a-dire la topologie telle que tout sous-ensemble de X est ouvert.
0Alors necessairement est plus faible que .
Pour nir ce paragraphe, nous rappelons la notion de base de voisinage et
base de la topologie.
De nition 1.1.5 Etant donnee une topologie sur un ensemble X et x2X.
(a) On appelle base de voisinage de x pour la topologie toute collectionB
d’ouverts pour contenant x et telle que chaque voisinage ouvert de x
contient un element deB.
(b) Une collectionB d’ouverts pour est appelee une base de la topologie si
tout ouvert est une reunion d’ensembles deB.
Exemple 1.1.6 Soient X un ensemble muni de la topologie discrete et x2 X.
Alors une base de voisinage pour x est constitue du singletonfxg. De plus, une
base de la topologie discrete est donnee par la famille (fxg) .x2X1.1. ESPACES TOPOLOGIQUES 9
Exemple 1.1.7 Soient (E;d) un espace metrique et x2 E. Une base de voisi-
nage pourx est constituee par la famille (B(x;r)) des boules ouvertes centreesr>0
enx. Une base de la topologie est alors donnee par l’ensemble des boules ouvertes.
En particulier, surR, l’ensemble des intervalles ouverts ]a;b[, ou a etb decrivent
R, est une base de la topologie deR.
1.1.2 Rappel sur la topologie la moins ne rendant conti-
nues une famille d’applications
Soient X un ensemble et (Y ) une famille d’espaces topologiques. Pouri i2I
chaque i2 I, on se donne une application ’ : X! Y . La question naturellei i
qui se pose est de munir X de la topologie la plus faible qui rende continue
toutes les applications ’ , i2I.i
Avant de repondre a cette question, nous donnons un resultat utile de theorie
des ensembles.
Lemme 1.1.8 Soient F , J et A (i2 F , j2 J ) des ensembles quelconques.i j i
Alors
\ [ [ \
A = A ;j (i)
i2F j2J i2F 2Fi
ouF est l’ensemble de toutes les applications :i2F7 ! (i)2J .i
Cette formule prouve que siA est une famille d’ensembles, alors "toute inter-
section nie d’union d’intersections nies d’elements de A est encore une union
d’intersection nie d’elements de A".
T S
Preuve : On ax2 A si et seulement si, pour tout i2F , il existeji2F j2Ji
j = (i)2J tel que x2A . Ceci est equivalent a l’existence d’une applicationi j
T S T
:i2F7 ! (i)