Matrices et applications linéaires

K Q R C
E; ; K B E; ;E E E E

B bi 1 i dimE
u E E u E

LuM M K dimE 1 K LuM mB dimE;1 B i;j 1 i dimE;j 1
dimE
u m bi;1 ik 1
1
L 1;1;1 M 1 :1;0;0 ; 0;1;0 ; 0;0;1
1
Soitdedelaecompnie.os?erepdedeuxermetappliOncations?sentationlin?aires.1Enoutreqnousbaseutiliseronsmlequeproqduitsenetlal'ineuvvx?es,ersionqmatriciellesprobl?me,p:oquar1.1chveabngerde?bunaseseldever?f,?renPce.qEnsuqueite,sinous?tudierons?l:esR?sum?casExempleparticuliersLIENSdeetlavrepr?senlatationhoisidesr?f?rence.proSoitjectionsmatriciellelin?airesqetacdedecelleladesdeappobservlicationsqlin?airesDenilplioten?tes.vIlPestcteurbienOns?rrvivleemen?taseconseill?matricd'utiliserplestr?sultatspquetailnouslavaleurvleonsnotedases?moesn?tr?sronsenoncours(leDanspaolyrendrefaisanOntpfoi).FIlppn'estapplicationpaspn?cessaireedetationred?monontrerccesuner?sultats.dePD?nitionar.conptre,ppiplicationourulttoutunr?sultat-espnouveeau,ctorielunedimensionpreuvSoiteuneestasedemand?ep(eteronsnonnousunplus,simple.argumennotet).n?aires.Enprevapplicationsancdeshe,etilecteursest.autoris?desdetersautervedesdequestions.etappd'utiliserleleseprr?sultatsmatricieldesduquestionscteursaut?esdanssansbjustication.rSoitlaMatriceseunourensemutilis?esble?trecenhoisipdansmatricesladelistelemaisones,oir?,dansdetel1.quetellel'onestr?f?rence1dtationbmatriciellep1.1dRepr?senfoistationunemat,ricierevllaitenousd'un?vceecteurDansvrilcette14sousle-partie.,1.1.nousain?tro(INRIA,?NS,CNRS)duisonseretlaJ?r?merepr?senlin?airestationlamatriciellelin?airerepr?senuneqqparecteurapplicationsd'untationl'imagqpectorielrepr?sendoncalculertd'unvecteuretd'unespacevouUneDevmatriceel?eappcolonmatrice.ne.1Repr?sen1
2
1
L 1;1;1 M :1;1;0 ; 0;1;1 ; 1;0;1
2
1
2
1;0;0;0 ; 1;1;0;0 ; 1;1;1;0 ; 1;1;1;1 ;
: :4R ; ;
2;1;3;4
1;0;0;0 ; 1;1;0;0 ; 1;1;1;0 ; 1;1;1;1 :
E; ; K B EE E
E M K u E EdimE;1
LuM K E; ; M K ; ;B E E dimE;1
E; ; F; ; K BE E F F E

E; ; B F; ; b B b BE E F F F j 1 j dimE E 1 i dimF Fi
L E;F K E; ; F; ;E E F F
B BE F
JK dimF dimE JK mB ;B B ;B i;j 1 i dimF;1 j dimEE F E F
dimF
b m b :j k;j k
k 1
E; ; K B E
J K :E B;B dimE;dimE
2 3R R
:
x;y x;y;0 :
1 0
0 1JK :1;0 ; 0;1 ; 1;0;0 ; 0;1;0 ; 0;0;1
0 0
E; ; F; ; K BE E F F E

E; ; B F; ; b B b BE E F F F j 1 j dimE E 1 i dimF Fi
L E;F E; ; F; ;E E F F
j N 1 dimE j JKB ;BE F
L b M b Bj B j FF
??qqpouver?qase??sentationciepqqqde1.2.etesp,.1Onqqqqv?etqqde?lin?airepqqpplan?qsppc.deSoitleqlaPacpqpp:aSoientOndesqonunedeuxapplicapplicationationtationliacn?troaisous-partie,rd'uneematentrpedeles.1.2.p-espracuneeseveqctorielsentrpisomorphismeExemplerppveqcpeprdedansrqctorielsetvepqq:depponqipppctestqp.D?nitionOnpappcelledonrepr1.4.?sentationenmatricield'unelelledel'duisonsapplicveationi.nunelin?pairDanseetfonbdanselesbOnases.laasequepeteterQuestionMontrDonner,qla.matriceprep.ationpedectorielsasecteurpbeune.vepdeuntailenleestq,tcpSoimatricni.la,tationtelqleqque,ctesipl'onasenoteqpdimensionesde-espctorielpptoutavedeuxeq?qppacq-espetqqpp?qqunune?bqpqq1.2.r?f?rence.Questionde?bases1.3.hoisi?aSoitp.tonectorielsaitespaces:quiQuestionpSoientqtreqlin?aireqqbppmatricie?repr?senladeux-espaseesctorielsdimensionSoient:in1bdenouspcette(idenqtit?)application.uneSoitaseppdericiellasetationbRepr?senq.unnoteune1.2-espqac?e?veqctorieldeqdimensionpn1ieqet?Question?uneetbasedeSoit1.1.P.pAmatriciellqors,appliconliaair:entretpIdveqacMontr-espeterlequeleIqlaPrfamilquepourdePaseentierbomprisExemplet1.4e(plongemenett)du.laOn-i?mecolonneonsid?rcteureolonnel'appliceationlalin?estairre?sen-suivantematriciel:assounepleOn#danspdu:veSoientu?Pnotelaqni.dansdimensionbpdeExemple1.32,3 2R R
:
x;y;z x;y ;
3 2R R
:
x;y;z x;y ;
3 2R R
:
x;y;z x;y ;
1;0;0 ; 0;1;0 ; 0;0;1 1;0 ; 0;1
E; ; F; ; K BE E F F E
E; ; B F; ;E E F F F
L E;F M K L E;FdimF;dimE
E; ; F; ; JK KE E F F B ;BE F
: :
L E;F ; ; K M K ; ;F F dimF;dimE
E; ; F; ; K BE E F F E
E; ; B F; ;E E F F F
E; ; F; ; u EE E F F
L u M JK LuMB B ;B BF E F E
E M K u EdimF;
L u M JK LuMB B ;B BF E F E
BE

3 2R R
:
x;y;z x;y :
L 1;1;1 M JK L 1;1;1 M :1;0 ; 0;1 1;0;0 ; 0;1;0 ; 0;0;1 ; 1;0 ; 0;1 1;0;0 ; 0;1;0 ; 0;0;1
E; ; F; ; G; ; KE E F F G G
B E; ; B F; ; B G; ;E E E F F F G G G
L E;F E; ; F; ; L F;GE E F F
F; ; G; ;F F G G
J K JK J K :B ;B B ;B B ;BF G E F E G
L F;G L E;F M KdimE;dimG
L E;F J K JK J KB ;B B ;B B ;BF G E F E G
ationationrcdel'appliespsi#Indication.pOnquemontrqerrapqueles.fonctionairdeperpdansacMontreplideqqationpq1.5.uneqetquive?etunQuestionve#cteurpQuestionqPetvetrassodecieaser:espdeeqctive-dement.lapmatricentreunectorielsdeoupairpbqSoientdimension:Plani.matricieletlaSoientmatricx?eee?airalin?qation-espapplicbuneet?equicqveSoientni.puneunepbdesont,deuxbappliaicationsetlin?bairSoites?quicqo?ncidentunesurairlapbbaseetaseetdeq.ctive,QuestionQuestion1.10.ationOnentrcdeonsid?runee1.7.l'applicni.ationerlin?deairacedeuxpeprsuivante:qationdansIndication.#1.9.qqqmontr?fonctionset:uneverspqpqbPdevefonctioncientqctivement??leplappqueqqperctorielV?rierdansque:qMontrois.-espppesqctorielsasedimensionSoientdelin?pbchoisie.de1.8.airpppSoientpqeequnematricasepplan?cieationassoapplicqq,unequneaseppp.qetqpSoitPppq??isomorphismeqpapplicunlin?esteqepplin?ase,deuxqpplicpsestairqquisurjeo?ncidentetunePasepinon.nqapplicairlin?eeqe:ppase#?qppqqDonnerdansqpMontrqqueqdimensionctorielsdeuxes-esp-espqacqppq?sentation??leppqdeql'applicestlin?ppqPourinjePppctive,.ouqqe,:erplesquedeerpMontrq.qnon.pqqpes??Questionp1.11.quiSoientqppPctorielQuestioneetassoqre1.6.acqdans,etplesMontraseserqsiqpl'appliqqq,petvepacpqqsontqa.ationplin?Questionesppclesurebentrbqqe-esppp3qqE; ; K B BE E
E; ; J K B BE E E B;B
PB;B
: :31;1;0 ; 0;1;1 ; 1;0;1 R ; ;

B 1;0;0 ; 0;1;0 ; 0;0;1 B 1;1;0 ; 0;1;1 ; 1;0;1
1 0 1
1 1 0P :B;B
0 1 1
: :31;0;0 ; 1;1;0 ; 1;1;1 R ; ;
1;0;0 ; 1;1;0 ; 1;1;1
1;1;0 ; 0;1;1 ; 1;0;1 :
E; ; K B BE E
E; ;E E
P PB;B B;B
E; ; F; ; K BE E F F E
B E; ; B B F; ; L E;FE E F F FE F
1JK P JK P :B ;BB ;B B ;B E F B ;BF EE F F E
E; ; K B BE E
E; ; L EE E
1
JK P JK P :B;B B;B B;B B;B
: :2 2 R ; ; x;y R
: :2 2x;x 2 y R R ; ; B 1;0 ; 0;1 B 1;0 ; 1;1
JK P P JK B;B B;B B;B B;B
B
: :2 2 R ; ; x;y R
2x;x 2 y R
1;0 1;1 B
qqacmatricetoutveqctoriqeblladedimensionnsid?rie.pSoientasel'onpetplorsquep1quedeuxMonterb-espasesppdeetpdeespmatriciellIdsqqn.unetatioentrqQuestion.pMontrcieercque?laD?nitionmatricSoiteprepr?senelest1.18.deviennende1qestasesinversibleleet.queonsisonaiestnversepestqueDonnertrematric1,monenonmatriciel.bIndication.aseOnonsutiliserlaa?lePrp?sultatledeclaetquestion.1.11f?rence..unQuestion:1.16.pSoit1pun,q-partiepsousdecetteSoientbDanscql'homomorphismeetetpdeuxr?f?rencequideouplebasesqdeassooupletqqPdeuxOnChangemene-espdeacmatriceqveppcqtorientrelpdededilamQuestionenappsion,nie.pSoientase1.31erduireteprqueqq11ladedeuxlab1asesOndeeppfamilasele,ppcqqlacq1.qSoient.oserlaetMontr1p1qpSoitdeuxPbpasesqdehomomorphisme.pqueq1.3.ppqq1:qaqq1.acSoitOnPve.ctorielpdimensionqqnie.est1uneaseqQuestionuneOnappliconationelin?laairpe.qqMontr1erbque,:?bcasepdeppP1qQuestionciepcqp1qpLq..c1d?rlesExempleases1.5.pOnqore41p,noteppqblappeqassagepetq1ppppune-espqdanspb1.14.cqq.Donner.q1.20.el??sultatsedansde1.1811.19deoncetablesestr,?sultatsd?desequestri?sentationonsle1.11assageete1.15la.1Questionl'homorphisme1.17dans.bSoitasep.q1.19.hangecid?rdel'homomorphismedebasesetqbun1deq-espquiactouteoupleve,ctorielqdeondimensionassonleie.oupleSoientnoter.etpppP1famildeuxD?bompaseslesdeouplesppSoiter15.q1.1.13.QuestionQuestionqlapase111.12.QuestionqueV?riersle1rqqobtenusMontrlesquestionsetetIndication.cOnutiliserdent.qE; ; F; ; K BE E F F E
E; ; B F; ; E; ;E E F F F E E
F; ;F F

JKB ;BE F
dimE dimF B JK dimE;dimFF B ;BE F
E; ; F; ; K BE E F F E
E; ; B F; ; E; ;E E F F F E E
F; ;F F

JKB ;BE F
dimE dimF B JKB ;B dimE;dimFE FE
E; ; F; ; K BE E F F E
E; ; B F; ; E; ;E E F F F E E
F; ;F F

JKB ;BE F
dimE dimF B JKB ;B dimE;dimEE FE
dimE dimF B JKB ;B dimE;dimEF E F
0 1 0
E; ; K K
E; ; L E
E; ; K
E; ;E
2 2 2 2 R R x;y R x;0 R
: :2 R ; ;
L E u E u u
qdesurpcettedectorielstoutveestesprpracpqI.queSoitou-esppunedansapplic-espationMontrlin?.airinjeeqdeuxRepr?sendejectionspuneqdes?p.etac-espqpqSoitdanslapil3.poupleSoientune1.21.,lin?aireQuestionqq1.22..applicMontrproerlequeetlestetrleuroistprlaoplaositionsnesuiestvlin?airesaqnteOnsairsontctoriel?homomorphismequivalentesque:2.1.11.bmatricielle.ctoriel.estdsurjeairctive.;?2.oupletationassonqrepr?selaleurlin?devantedroite2.?estt/outest,inversiblesont?pdrQuestionoiteSoit;.3.matricielleelin?aireshenous?desgaucs?monetuiilcexisteonneunetationbmatriceaseversibilit?ts1estv,telaleurletsquetl'inaet?e,Probijectiv2.1.11e,devvesurjectiele,ctionduIeinjectivsoit.airePlin?qapplication..QuestionQuestion1.23.qSoientunpequ'uneerfaitidentit?leesttrectiondeen.q2.2.etfonctionpdanslienaule;?tablie?onleestsous-partie,trqouverdeuxprcetteoje-espeacositionses;venctorielsctivedeestdimensionproniet.pSoientPDansplin?aires?uneb.aseSoientde1ps.nuneoationi2tationatdesqjectionsetDansapplicpartie,des?tudieronsqqcas5proaselin?airede,pnousmatriciellestreronstationqasetrepr?sen?hoisirbbqbase,.repr?senSoitmatricielledesuneunedonappliclaationaleurlin??l?menairsurediagonaleersibilit?lin?deIpetvvIndesunel?men1.4quisondimensionpasqldansdiagonalep?galeniet2.1qjections.D?nitionSoitairqe.unMontr-esperequectoriel