Nom et Prenom L1 MP Algebre semaine Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour inverser la matrice
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Nom et Prenom : L1 MP Algebre 08-09 semaine 6 ————————————————————————————————————————— 1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour inverser la matrice : M = ( 2 1 3 2 ) ? M2,2(R) . Preciser une expression de M?1, puis de M comme produit de matrices elementaires. 2) Appliquer l'algorithme du cours avec precision pour resoudre le systeme a coefficients reels : (E) ? ?? ?? x1 + x2 + x3 ? x4 ? 2x5 = 0 E1 x1 ? x2 + x3 ? x4 = 0 E2 3x1 + x2 + 3x3 ? 3x4 ? 4x5 = 0 E3 . Donner une base de l'espace vectoriel des solutions de ce systeme. ————————————————————————————————————————— 1) Mise en place : M = ( 2 1 3 2 ) I2 = ( 1 0 0 1 ) I2M = M Les deux lignes de M sont d'ordre 1. Donc, M est ordonnee. M1 = T2,1(?3/2) M = ( 2 1 0 1/2 ) B1 = T2,1(?3/2) I2 = ( 1 0 ?3/2 1 ) B1M = M1 La matrice M1 est triangulaire (on dit aussi echelonnee). La premiere phase de l'algorithme est terminee.
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Nom et Prenom : L1 MP Algebre 08-09 semaine 6 ————————————————————————————————————————— 1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour inverser la matrice : M = ( 2 1 3 2 ) ? M2,2(R) . Preciser une expression de M?1, puis de M comme produit de matrices elementaires. 2) Appliquer l'algorithme du cours avec precision pour resoudre le systeme a coefficients reels : (E) ? ?? ?? x1 + x2 + x3 ? x4 ? 2x5 = 0 E1 x1 ? x2 + x3 ? x4 = 0 E2 3x1 + x2 + 3x3 ? 3x4 ? 4x5 = 0 E3 . Donner une base de l'espace vectoriel des solutions de ce systeme. ————————————————————————————————————————— 1) Mise en place : M = ( 2 1 3 2 ) I2 = ( 1 0 0 1 ) I2M = M Les deux lignes de M sont d'ordre 1. Donc, M est ordonnee. M1 = T2,1(?3/2) M = ( 2 1 0 1/2 ) B1 = T2,1(?3/2) I2 = ( 1 0 ?3/2 1 ) B1M = M1 La matrice M1 est triangulaire (on dit aussi echelonnee). La premiere phase de l'algorithme est terminee.
- produit de matrices elementaires
- premiere algorithme
- base de l'espace vectoriel des solutions
- x3 ?
- algorithme de triangulation
- variable de tete
- x1
NometPr´enom:L1MPAlg`ebre08-09semaine6 ————————————————————————————————————————— 1)Appliqueravecpre´cisionl’algorithmeducourspourinverserlamatrice: ! 2 1 M=∈M2,2(R). 3 2
−1 Pre´ciseruneexpressiondeM, puis deMorudmmpeoc´el´icesmatritde.seriatneme
2)Appliquerl’algorithmeducoursavecpre´cisionpourre´soudrelesyst`eme´acoefficientsr´eels: x+x+x 1 2 3−x4−2x5= 0E1 (E)x1−x2+x3−x4= 0E2 3x1+x2+ 3x3−3x4−4x5= 0E3. Donnerunebasedel’espacevectorieldessolutionsdecesyst`eme.
————————————————————————————————————————— 1) Mise en place : ! ! 2 11 0 M=I2=I2M=M 3 20 1 Les deux lignes deMsont d’ordre 1.Donc,M.ee´nnodorste ! ! 2 11 0 M1=T2,1(−3/2)M=B1=T2,1(−3/2)I2=B1M=M1 0 1/2−3/2 1 La matriceM1sahpere´imerpaL.ehmitorlg’aeledtiuao(dniaergnlu´ee)lonnechessi´tseairt esttermine´e.Les´el´ementsdeladiagonaledeMte´ntnaeunpontcnuon,olsueequrclMest inversible. ! ! 1 11/2 11/2 0 M2=D2(2)D1( )M1=B2=D2(2)D1( )B1=B2M=M2 2 01 2−3 2
! ! 1 02−1 M3=T1,2(−1/2)M2=B3=T1,2(−1/2)B2=B3M=M3 0 1−3 2 On obtient donc : ! −12−1 M=B3=. −3 2 Soit en remontant les calculs : 1 −1 M=T1,2(−1/2)D2(2)D1( )T2,1(−3/2). 2 On sait que l’inverse deTi,j(λ) estTi,j(−λ) et que poura6= 0, l’inverse deDi(a) estDi(1/a). On −1−1−1 rappelle que siAetBtricuxmantdesoatliseedrre´seaclen(inversibles :M N) =N M. On obtient alors : 1 −1−1−1 M= (M) =(T1,2(−1/2)D2(2)D1( )T2,1(−3/2)) =T2,1(3/2)D1(2)D2(1/2)T1,2(1/2). 2
2) L’ordre des variablesx1, x2, x3, x4(detauqsnoiortse´siturel.Le’ordrenaseltE) sont d’ordre 1.Lesyst`emeestdoncordonne´.De´marronsl’algorithmedetriangulation. ´ Etape 1(: UtilisonsE1useme`tsyseL.settanivmonterl’ordredese´uqtaoisnusvinap)fruoeria a`mˆemessolutionsque(E) : −2x= 0(E) x1+x2+x3−x4 51 0 0 2x= 0(E=−E) (E)−2x2+5 2E2 1 0 −2x2+ 2x5= 0(E=E3−3E1). 3 0 0 Les´equationsE1, E, Esont respectivement d’ordre 1,2,drot´nnoe`tyseem2es.Ce. 2 3 ´ Etape 2eme´ixe`dauenolsilis:Utlederdro’lretnomreairfounpioatqust`emetaorsi`ime.eeLys suivant`ameˆmessolutionsque(E) : x1+x2+x3−x4−2x5(= 0E1) 00 0 ) (E)−2x2+ 2x5= 0(E2=E2−2E1 0 0 0 = 0(E−E). 3 2 ”Nettoyons”lesyst`emeobtenuenenlevantl’e´quation0=0.Onobtientunsyste`meayantles meˆmessolutionsque(E) : ( x+x+x−x−2x(= 0E) 0001 2 3 45 1 (E) 0 −2x2+ 2x5= 0(E=E2−2E1). 2 Les´equationsdecesyste`mesontd’ordrerespectivement1,seC.2eeme`tsyngiatrste.L´eul premie`realgorithmeesttermine´. 000 R´esoudre(E(e´lungiatrme`estsyleduere´os`cradtnovien)reEravaL.)ˆetede(iabledetE1) 0 000 estx1alavirba,deleettˆE) e de (2estx2, Les variables libres de (E) sont doncx3, x4etx5. Re´solvonscesyst`emetriangul´eensuivantlame´thodeducours.Ladernie`ree´quationdonne: x2=x5. Remplac¸onscettevaleurdex2entec´edpr´etiontn:tbeio,onauqe´’lsnad x1+x3−x4−x5= 0. Nous obtenons : x1=−x3+x4+x5. Nousavonsainsiexprime´x1etx2esbm’lneel`dedia’labairavsereibsllei,nsAis.Fdes solutions de (E) est : F={(−x3+x4+x5, x5, x3, x4, x5) telsquex3, x4, x5∈R}. Soit :F={x3(−1,0,1,0,0) +x4(1,0,0,1,0) +x5(1,1,0,0,1) telsquex3, x4,etx5∈R}. Ainsi,Fiortsedsruetcevssel’stbmelneesmoibedcsonslnaisairein´ee1= (−1,0,1,0,0), 5 5 e2= (1,0,0,1,0) ete3= (1,1,0,0,1) deR. C’estdonc un sous-espace vectoriel deR. Ces 2
trois vecteurse1, e2, e3ussiledsgla’emt`ysns’undioutlose´redemhtitroeseairil´noisnuqtadee´ homoge`nessontlibres(voircours).Donc,(e1, e2, e3) est une base deF. V´erifionsatitred’entrainementquelafamillee1= (−1,0,1,0,0),e2= (1,0,0,1,0) ete3= (1,1,0,0,S.erttiosioree´rlses1)ibtla, b, ctels queae1+be2+ce3Comme := 0. ae1+be2+ce3=a(−1,0,1,0,0) +b(1,0,0,1,0) +c(1,1,0,0,1) = (−a+b+c, c, a, b, c), on aurait (−a+b+c, c, a, b, c) = (0,0,0,0,teulesr´icrtpaennelI.)0uliera=b=cAinsi,= 0. la famille (e1, e2, e3) est libre.
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