PCSI B Mathematiques Lycee Brizeux annee

PCSI B Math´ematiques Lyc´ee Brizeux - ann´ee 2009-2010
G´e o m´e t r i e d e l ’ e s pa ce
Sauf mention explicite du contraire, on supposera l’espace affineE rapport´e a` un rep`ere orthonorm´e direct
→− −→ −→ →− →− −→ →−
R = (O,( i , j , k)), ( i , j , k) ´etant alors une base orthonorm´ee (B.O.N.) directe de E .
Nombre d’exercices figurant a` la suite peuvent se r´esoudre `a l’aide de la librairie geom3d de Maple.
−→ 2 2 −1 −→ 1 2 2 −→ 2 1 2 →− −→ →−1. Soient u( ,− , ), v ( , ,− ) et w = ( , , ). Montrer que (u, v, w) d´efinit une B.O.N. de E.
3 3 3 3 3 3 3 3 3−→ −→ →− →− →− −→ −→Est-elle directe? Calculer det(u, v, w). Exprimer le vecteur n(1,1,1) dans la base (u, v, w).
2. Proc´eder de mˆeme avec les vecteurs suivants :
√ √
1 2 1 1 1 1 2 1−→ −→ −→u( , , ), v (√ ,0,−√ ), w( ,− , ).
2 2 2 2 2 22 2
→− →−
3. Calculer l’aire du triangle d´efini par les vecteurs u(1,1,−2) et v (2,1,3).
4. Soient A(−1,−2,4), B(−4,−2,0) et C(3,−2,1).
(a) D´eterminer l’angle au sommet B du triangle ABC.
(b) Calculer l’aire de ABC de deux fa¸cons.
(c) D´eterminer une ´equation cart´esienne du plan contenant les points A,B et C.
15. Soit OABC un t´etra`edre rectangle en O. (Il s’agit bien de l’origine du rep`ere, quoique cela ne joue pas
un rolˆ e primordial ici).
´Etablir le r´esultat suivant attribu´e a` Descartes :
Le carr´e de l’aire du triangle ABC est ´egale a` la somme des carr´es des aires des triangles OAC, OAB
et OBC.
−→ −→ −→
6. SoitABCDunt´etra`edrenonaplati(lespointsA,B,C etDnesontpascoplanaires)telque(AB,AC,AD)
→−
soit une base directe de E . Soit M un point int´erieur `a ce t´etra`edre. On note α,β,γ,δ les volumes res-
pectifs des t´etra`edres MBCD, MCAD, MABD et MABC.
(a) Expliciter α,β,γ et δ.
(b) Montrer que M est le barycentre de (A,α),(B,β),(C,γ) et (D,δ).
−→→− −→ →−
7. Soit (u, v, w) une base de E . On pose
→− −→ −→ −→ →− −→
0 →− →− 0 −→ →− 0 −→ −→ →− →− 0 −→ 0 →− 0u = v ∧ w, v = w ∧ u, w = u ∧ v et n =kuku +kvkv +kwkw .
→− →− →− −→ −→ −→\ \ \Montrer que les angles g´eom´etriques (n, u), (n, v ), (n, w) sont ´egaux.
−→ −→−→ −→ →−8. Soient u et v deux vecteurs non colin´eaires de E . D´eterminer l’ensemble de vecteurs x ∈ E qui
v´erifient l’´equation :
−→ −→ →− →− →− →− −→x +(u · x) u + u ∧ x = v.
9. Donner deux vecteurs (non colin´eaires) directeurs du plan d’´equation cart´esienne 2x−y+5z−2 = 0.
10. D´eterminer un vecteur directeur de la droite d’´equations cart´esiennes :

2x+2y−4z = 6
x−y+3z = 2
11. Calculer le volume du parall´elipip`ede construit sur les vecteurs
→− −→ −→u(−1,1,1), v (1,2,−1), w(0,1,1).
−→ −−→ −−→
1C’est donc un poly`edre a` 4 faces de telle sorte que OA, OB, OC soient orthogonaux
1
uidFleeTeD8l→− →− →−
12. Soient u(1,0,λ),v (μ,2,3) et w(0,1,1) ou` λ et μ sont deux param`etres r´eels. D´eterminer une condition
→− →− →−
n´ecessaire et suffisante sur λ et μ pour que u, v et w soient coplanaires.
→−−→ →−−→ →− −→ →−13. Soient n(1,−2,3) et u(2,1,−1). Calculer n ∧ u dans la base ( i , j , k). Que peut-on dire du plan Π
d’´equation cart´esienne x−2y+3z = 10 et de la droite D de repr´esentation param´etrique

 x = 1+2λ
y = λ ou` λ∈R?

z = 10 −λ
14. Soient Π le plan d’´equation cart´esienne x−3y+z−4 = 0 et A(−1,2,1), B(1,−6,−1) et C(2,2,2) des
points de E. D´eterminer une ´equation du plan H contenant les points A, B et C. Les plans Π et H
sont-ils s´ecants?
→− →− →−15. Soient u(1,−1,0), v (2,0,−1) et w(−3,1,−1).
−→ −→ −→
(a) Les vecteurs u, v et w sont-ils colin´eaires (cela revient a` demander s’ils sont coplanaires)?
(b) Soit A(2,1,3). Donner une repr´esentation param´etrique du plan Π passant par A et de vecteurs
−→ −→directeurs u et v . D´eterminer alors une ´equation cart´esienne de Π.
(c) SoitB(1,−2,4).Donnerunerepr´esentationparam´etriquedeladroiteD passantparB etdevecteur
→−directeur w. D´eterminer alors une ´equation cart´esienne de D.
(d) Que dire de D∩Π?
16. Soient Π le plan d’´equation x−y+1 = 0 et Π celui d’´equation −2x+z = 0.1 2
(a) Montrer que Π et Π se coupent. Donner une param´etrisation de la droite Δ = Π ∩Π .1 2 1 1 2
−→(b) SoitΔ ladroitedeE passantparA(0,0,2)etdevecteurdirecteur u(1,−1,0).Donnerune´equation2
cart´esienne de Δ . Les droites Δ et Δ se coupent-elles?2 1 2
17. Soient Π le plan d’´equation cart´esiennex+y−2z = 3 et Π le plan d’´equation cart´esiennex−y+z = 1.1 2
(a) Montrer que Π et Π se coupent. Donner une param´etrisation de la droite Δ = Π ∩Π .1 2 1 2
(b) Donner une ´equation cart´esienne du plan contenant B(1,1,1) et la droite Δ.
0´18. Etant donn´e a et b des param`etres r´eels, on d´efinit les droites D et D d’´equations cart´esiennes respec-a b
tives :
2x+y−az +2 = 0 x+y−2z−1 = 00
D : D :a bx−y+z +1 = 0 x+by−z = 0
0(a) D´eterminer une condition n´ecessaire et suffisante sur (a,b) pour que D et D soient parall`eles.a b
0(b) D´eterminer une condition n´ecessaire et suffisante sur (a,b) pour que D et D soient s´ecantes.a b
019. Soit λ∈R. On d´efinit les droites D et D de la fa¸con suivante.

x = 2−2t
D : y = 1+t ou` t∈R.

z = t

x = −1+t
D : y = 2−3t ou` t∈R.λ

z = λ+2t
(a) D et D sont-elles parall`eles?λ
(b) D´eterminerλpourqueDetD soients´ecantes.Donneralorslescoordonn´eesdupointd’intersection.λ
(c) Pour cette valeur de λ, donner des repr´esentations param´etrique et cart´esienne du plan Π qui
contient D et D .λ
20. Calculer la distance du point A au plan Π dans les cas suivants :
(a) A(3,−1,2) et Π : 2x+6y−z = 4.
(b) A(2,3,−4) et Π :x+2y−z +3 = 0.
→− →−(c) A(1,2,−3) et Π le plan passant par B(−2,1,0) et de vecteurs directeurs u(1,−6,3) et v (3,−1,1).
21. Calculer la distance du point A a` la droite D dans les cas suivants :
−→
(a) A(1,−1,1) et D la droite passant par B(2,1,0) et de vecteur directeur u(−1,2,2).
2
x+2y = 1
(b) A(4,−3,2) et D :
3y+z = −1
22. D´eterminer les ´equations cart´esiennes de la projection orthogonale de la droite D sur le plan Π dans les
cas suivants :

x+y+z−1 = 0
(a) D : et Π :x+2y+3z−6 = 0.
x−y−2z = 0

5x−4y−2z−5 = 0
(b) D : et Π : 2x−y+z−1 = 0.
x+2z−2z = 0
23. d´eterminer la perpendiculaire commune (sous forme d’´equations cart´esiennes et param´etriques) des
droites suivantes :

4x+3y−z = 5 x−y = 2
(a) D : ou` t∈R et D :1 23x+2y−2z = 4 2x−3y+z = 3

x = 1−t
x−2y+z = 0
(b) D : y = 2t ou` t∈R et D :1 2 x+y+z−3 = 0
z = −1+t
(c) Les droites Δ et Δ de l’exercice 16.1 2
√
24. (a) D´eterminer l’´equation cart´esienne de la sph`ere S de centre (0,0,1) et de rayon 2.
(b) V´erifier que le point A(1,1,1) appartient `a la sph`ere, puis donner une ´equation cart´esienne du plan
tangent de S en A not´e Π.
−→ →−
(c) D´ecrire l’intersection de Π et du plan H de vecteurs directeurs u(1,0,−1) et v (1,−1,0) passant
par B(1,0,1).
(d) D´eterminer la distance de A `a Π∩H.
(e) Discuter l’intersection de S avec le plan H.
25. Soient S et S les sph`eres d’´equation cart´esienne respective1 2
2 2 2x +y +z −2x−2y−2z−1 = 0 ;
2 2 2x +y +z −8x−2y+6z +17 = 0.
Montrer que S et S sont tangentes. D´eterminer la tangente aux deux sph`eres au point de tangence.1 2
26. Donnerl’´equationcart´esiennedelasph`eredecentreA(1,−1,1)ettangenteaupland’´equationx+y−2z = 0.
Quel en est le rayon?
27. Soit C le cercle d’´equations
2 2 2x +y +z −2x−3 = 0
x+y−2z−2 = 0
D´eterminer le centre et le rayon de C.
28. D´eterminer la sph`ere S qui contient les cercles

2 2 2 2x +z = 25 x +z = 16
C : et C :1 2
y = 2 y = 3
3