PROBL`EMES INVERSES

`PROBLEMES INVERSES
Master recherche – Ecole Centrale de Paris
Mention Mati`ere, Structures, Fluides, Rayonnement
Sp´ecialit´e Dynamique des Structures et Syst`emes Coupl´es
octobre 2008
Marc BONNET
Directeur de recherche CNRS,
Laboratoire de M´ecanique des Solides, UMR CNRS 7649
Ecole Polytechnique, 91128 Palaiseau cedex
t´el´ephone: (1)-69333327, t´el´ecopie: (1)-69333026
courrier ´electronique: bonnet@lms.polytechnique.fr2Table des mati`eres
1 Introduction 5
1.1 Pr´eliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Probl`emes directs, probl`emes inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Gravim´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Identification de sources ou de sollicitations . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Reconstruction de conditions aux limites inaccessibles . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Probl`emes inverses associ´es aux vibrations de structures. . . . . . . . . . . 13
1.7 Tomographie, imagerie, contrˆole non destructif . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.8 Probl`emes inverses avec g´eom´etrie inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Probl`emes mal pos´es 21
2.1 Exemples de probl`emes mal pos´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Analyse en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 La dimension infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Stabilisation de l’inversion 37
3.1 R´egularisation au sens de Tikhonov et applications. . . . . . . . . . . . . . 38
3.2 Un exemple unidimensionnel semi-analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3 Approche probabiliste des probl`emes inverses. . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4 Elements de comparaison des deux approches. . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.5 Un exemple d’inversion gaussienne lin´eaire en variable complexe . . . . . . 64
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4 Identification de grandeurs distribu´ees 73
4.1 Probl`eme de la reconstruction de la conductivit´e thermique . . . . . . . . . 74
4.2 Probl`eme de la reconst de constantes ´elastiques . . . . . . . . . . . 80
4.3 R´esolution num´erique du probl`eme inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.4 Exemples num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.5 Reconstruction de d´eformations ou contraintes r´esiduelles . . . . . . . . . . 92
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5 Minimisation de fonction-coutˆ et m´ethode d’´etat adjoint 97
5.1 Aper¸cu de quelques m´ethodes de minimisation . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.2 Minimisation d’une fonctionnelle quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.3 M´ethodes d’´evaluation du gradient : discussion . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3`4 Table des matieres
5.4 M´ethode de l’´etat adjoint en dimension infinie . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.5 Etat adjoint et analyse modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.6 Lin´earisation, ´equations d’observation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.7 Etat adjoint et probl`emes d’´evolution non-lin´eaires . . . . . . . . . . . . . 113
5.8 Identification de domaines inconnus par ´equations int´egrales de fronti`ere . 116
5.9 Algorithmes ´evolutionnaires : principe et exemples . . . . . . . . . . . . . . 120
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Bibliographie g´en´erale 125Chapitre 1
Introduction
Sommaire
1.1 Pr´eliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Probl`emes directs, probl`emes inverses . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Gravim´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Identification de sources ou de sollicitations . . . . . . . . . . 10
1.5 Reconstruction de conditions aux limites inaccessibles . . . . 11
1.6 Probl`emes inverses associ´es aux vibrations de structures . . 13
1.7 Tomographie, imagerie, contrˆole non destructif . . . . . . . . 15
1.8 Probl`emes inverses avec g´eom´etrie inconnue . . . . . . . . . . 17
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
56 Chapitre 1. Introduction
1.1 Pr´eliminaire
Qu’entend-on par «probl`eme inverse»? Cette question, en apparence simple, ne l’est
pastantquecela.D’unpointdevue«physique»ou«exp´erimental»,onqualifieravolon-
tiers de probl`eme inverse toute situation ou` l’on souhaite ´evaluer une certaine grandeur
physiquep inaccessible `a l’exp´erience `a partir de la mesure d’une autre grandeurd direc-
tement accessible `a l’exp´erience, connaissant un mod`ele math´ematique du probl`eme direct
qui donne explicitement d `a partir de p (ce que l’on note symboliquement d = G(p)).
Mais une telle d´efinition est trop vaste : en termes de math´ematiques, elle conduit pra-
tiquement `a appeler « probl`eme inverse » la r´esolution de toute ´equation (alg´ebrique,
matricielle, diff´erentielle, aux d´eriv´ees partielles, int´egrale...) ou la minimisation de toute
fonctionnelle, y compris dans les cas les plus classiques et les mieux connus.
Tous ces candidats au statut de « probl`eme inverse » peuvent ˆetre r´epartis en deux
classes. Ceux qui, pour toute mesure d, admettent une solution unique p continue par
˙rapport `ad sont dits « bien pos´es »Ils sont g´en´eralement r´esolus (de mani`ere exacte ou
approch´ee) par des m´ethodes classiques. On r´eserve g´en´eralement, dans la litt´erature, le
qualificatifd’«inverse»auxprobl`emes(a)d’inversion(b)malpos´es:l’existence,l’unicit´e
et/ou la continuit´e de la solution par rapport aux mesures ne sont pas toutes v´erifi´ees. Du
pointdevuephysique,celasignifiequ’unemesured,comptetenudelaplaged’incertitude
qui l’accompagne, peut correspondre `a un grand nombre de valeurs de p; ces derni`eres
pouvant ˆetre fort ´eloign´ees les unes des autres.
Laphysiquemath´ematiquealongtempsignor´elesprobl`emesmalpos´es,lesconsid´erant
soitd´enu´esdesensphysique,soitrefl´etantunemod´elisationinad´equate.Lar´ealit´eactuelle
est toute autre : le caract`ere fondamentalement mal pos´e de certains probl`emes (en gra-
vim´etrieparexemple)estreconnuetmotivedenombreusesrecherchesenmath´ematiques.
Outre des m´ethodes g´en´erales pour l’approche des probl`emes inverses que l’on verra
plus loin, de nombreux travaux math´ematiques traitent de l’identifiabilit´e d’une grandeur
donn´ee : voir par exemple Barcilon [10], Calderon [19], Colton et Monk [25], Friedman et
Vogelius [30], Kohn et Vogelius [35].
Les causes d’incertitude sont nombreuses :
• Les donn´ees ont une origine exp´erimentale, ce qui implique l’existence d’erreurs de
mesure.
• Elles sont collect´ees en nombre fini, mˆeme si, dans le mod`ele math´ematique, elles
sont d´ecrites par des fonctions.
• L’algorithme d’inversion lui-mˆeme peut parfois cr´eer une alt´eration des donn´ees :
interpolation requise pour la discr´etisation d’un mod`ele initialement continu par
exemple.
• Le mod`ele lui-mˆeme proc`ede d’une id´ealisation de la r´ealit´e physique et repose
sur des hypoth`eses simplificatrices, il est donc ´egalement une source d’incertitudes.
D’autant que certains param`etres du mod`ele (constantes physiques d’un milieu par
exemple) ne sont connus que de mani`ere exp´erimentale, donc approximativement.
La sensibilit´e des probl`emes inverses aux incertitudes induit un changement d’optique
important vis-`a-vis du concept de solution, car la recherche des solutions au sens strict
associ´ees par le mod`ele aux mesures d n’est plus un objectif suffisant. En effet, tout p
qui reproduit aux incertitudes pr`es, via le mod`ele physique, la mesured est une r´eponse a
priori possible au probl`eme inverse. Un probl`eme inverse, pour un mod`ele physique et une1.2. Probl`emes directs, probl`emes inverses 7
mesure donn´es, peut n’avoir aucune solution au sens strict mais beaucoup de solutions
«`a pr`es».
Toute « th´eorie de l’inversion » doit donc tenir compte du caract`ere ´eventuellement
incomplet, impr´ecis et/ou redondant des donn´ees. La strat´egie id´eale consisterait `a in-
ventorier l’ensemble complet des solutions « `a pr`es » de d = G(p), parmi lesquelles
on op´ererait ensuite un choix suivant des crit`eres additionnels (vraisemblance physique,
informations supplementaires a priori) afin de retenir la ou les solutions jug´ees vraisem-
blables.Unetelle «approcheexhaustive»posedes probl`emespratiques insur