Statistiques: estimation ponctuelle
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
Statistiques: estimation ponctuelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Statistiques Nancy-Université 1 / 63
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Statistiques: estimation ponctuelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Statistiques Nancy-Université 1 / 63
- m1 - statistiques nancy-université
- loi µ?
- famille de lois
- estimateurs du maximum de vraisemblance
Samy Tindel
Master 1 - Nancy
Nancy-Université
Statistiques: estimation
ponctuelle
3
Rappel: variables aléatoires usuelles
2
Introduction
1
Intervalles de confiance
6
5
Méthode des moments
4
Définitions
itrsveni
Plan
Estimateurs du maximum de vraisemblance
3/6é2
Plan
Estimateurs du maximum de vraisemblance
5
6
1
Intervalles de confiance
2
Introduction
3
Rappel: variables aléatoires usuelles
4
Définitions
Méthode des moments
Données:on dispose de données(x1 xn)
Problème:Identification d’une famille de lois{µθ;θ∈Θ}
Situation générique abstraite
Reformulation du problème:estimerθà partir de(x1 xn)sous l’hypothèse fondamentale.
Autrement dit: on peut écrire(x1 xn) = (X1(ω) Xn(ω))pour Unn-échantillon(X1 Xn)de loiµθ Une expérienceω
Hypothèse fondamentale:les données sont issues d’unn-échantillon de loiµθpourθ∈Θ
Exemple d’observation: (x1 x10) = (0010001000)
Expérience:on lance 10 fois le dé. On posexi=1 si le 6 est obtenu auièmelancer, 0 sinon ,→(x1 xn)avecn=10.
Exemple
Hypothèse:(x1 xn)est la réalisation d’unn-échantillon (X1 Xn)de loi{B(p);p∈]01[}.
But:A partir de(x1 xn), donner une estimation dep afin de savoir sip=16.
Tirage de dé:On souhaite savoir si un dé est pipé. Pour cela, on s’intéresse à la proba d’obtenir 6 avec ce dé.
aSym.TI(CE)N1MS-tatistiquesNancy
Type de critère considéré
Pour caractériser l’estimation deθ, on verra les critères suivants: Convergence lorsquen→ ∞(forte consistence) Convergence en moyenne (biais) Maximisation probabiliste (maximum de vraisemblance) Critère basé sur la variance (risque)
SamyT.(IECN)M1-StatistiquesaNcn-yUniversité6/63
1
Intervalles de confiance
2
Introduction
3
Rappel: variables aléatoires usuelles
4
Définitions
Méthode des moments
versité7/63
Plan
Estimateurs du maximum de vraisemblance
5
6
Utilisation: (i)Succès dans un jeu binaire Exemple 1: pile/face.X=1 si pile,X=0 sinon⇒X∼ B(12) Exemple 2: jeu de dé.X=1 si résultat=3,X=0 sinon ⇒X∼ B(16) (ii)Réponse oui/non dans un sondage Exemple:X=1 si une personne approuve la loi Pécresse, X=0 sinon⇒X∼ B(p), avecpinconnu
P(X=0) =1−p
P(X=1) =p
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Loi de Bernoulli
Ensemble des valeurs:E={01}
Notation:B(p)pourp∈]01[
Loi:
tsqieuNs1MS-atitversité8ancy-Uni(IT.N)ECmySa
Notation:Bin(np), pourn∈N∗,p∈]01[ Ensemble des valeurs:E={01 n} Loi:
Notation:Bin(np
3/6é9itrsveni
Utilisation: (i)Nombre de succès dans une épreuve de Bernoulli répétéenfois indépendemment Exemple: On lance un dé 9 fois.X=nombre de 3 obtenus ⇒X∼Bin(916),P(X=2) =028 (ii)Comptage d’un caractère dans un tirage avec remise Exemple: lot de 1000 pantalons dont 10%défectueux On tire 15 pantalons avec remise. X=nombre de pantalons défectueux obtenus⇒X∼Bin(15110)
0≤k≤n
P(X=k) =kn!pk(1−p)n−k
Loi Binomiale
Loi géométrique
é10/
Utilisation: Instant de 1ersuccès dans un jeu binaire Exemple 2: jeu de dé. X=1erjancer pour lequel résultat=6 ⇒X∼ G(16),P(X=5) =008
k−1 P(X=k) =p(1−p)
k≥1
Notation:G(p)pourp∈]01[
Ensemble des valeurs:E=N∗
Ensemble des valeurs:E=N
Loi:
ycU-Nsnasrtiinevta-SM1N)ueiqsttiaSCEI(.Tym
Ensemble des valeurs:E=N
Loi:
Loi de Poisson
Notation:P(λ)pourλ∈R+
k≥0
−λλk k!
P(X=k) =e
11té3/6
