UFR S T M I A Ecole Doctorale IAEM Lorraine

UFR S.T.M.I.A.
Ecole Doctorale IAEM Lorraine
Universite Henri Poincare - Nancy I
D.F.D. Mathematiques
These
presentee pour l’obtention du titre de
Docteur de l’Universite Henri Poincare, Nancy-I
en Mathematiques
par
Roger NAKAD
Sous-varietes speciales des varietes spinorielles
complexes
Soutenue publiquement le 9 Mai 2011
Rapporteur : Vestislav Apostolov Professeur, UQAM, Montreal
Membres du jury :
Rapporteur : Sebastian Montiel Professeur, Grenade
Examinateurs : Jean Pierre Bourguignon Directeur de recherche (CNRS), IHES
Professeur a l’Ecole Polytechnique
Oussama Hijazi Directeur de These, Professeur, Nancy I
Emmanuel Humbert Ma^ tre de conferences (HDR), Nancy I
Andrei Moroianu Charge de recherche (CNRS),
Ecole Polytechnique, Palaiseau
Institut Elie Cartan Nancy, Laboratoire de Mathematiques, B.P. 239, 54506 Vand uvre-les-Nancy Cedex3
Remerciements
C’est a plus d’un titre que je tiens en premier lieu a remercier mon directeur de
these, Oussama Hijazi. Son esprit critique, sa disponibilite exemplaire et son soutien
dynamique m’ont beaucoup apporte. Je lui suis reconnaissant parce qu’il m’a permis de
nouer de nombreux contacts et de mieux apprehender les di erentes facettes du metier
d’enseignant-chercheur. Le temps qu’il m’a accorde et la liberte de travail qu’il a su me
laisser m’ont permis de travailler en toute con ance et de progresser. En n, tous ses
conseils clairs ont ete pour moi de veritables atouts.
Je suis tres touche de l’honneur que Vestislav Apostolov et Sebasti an Montiel m’ont
fait en acceptant d’^etre rapporteurs. Je les remercie pour leurs suggestions qui ont per-
mis l’amelioration de ce manuscrit. Je tiens a exprimer ma profonde reconnaissance a
Sebasti an Montiel pour ses conseils, sa disponibilite et sa sympathie.
Je suis reconnaissant a Jean Pierre Bourguignon qui, malgre la charge de ses re-
sponsabilites, a accepte de faire partie du jury. Je lui presente mes vifs remerciements
pour la lecture attentive de la these. Un grand merci egalement a Andrei Moroianu et
Emmanuel Humbert pour l’inter^et qu’ils ont eu pour ce travail et pour avoir accepte de
faire partie du jury.
J’adresse mes chaleureux remerciements a toutes les personnes avec qui j’ai travaille
et collabore pendant ma these : Ola Makhoul, Rafael Hererra, Georges Habib et Julien
Roth. Un remerciement tout particulier a Julien Roth pour les moments d’humour et
son accueil a l’Universite de Marne-La-Vallee.
Je mesure la chance que j’ai eu d’avoir pu pro ter des connaissances de Mihai Paun,
Claude LeBrun, Simon Salamon, Pascal Romon, Xiao Zhang, Simon Raulot, Nicolas
Ginoux et Marie Amelie Lawn. Pour cela, je les remercie in niment.
Je tiens a remercier l’Institut Elie Cartan pour le cadre exceptionnel qu’il o re aux
doctorants. Plus particulierement, merci a tous les membres de l’equipe de Geometrie
Di erentielle pour leur disponibilite ainsi que pour les moments d’amitie. Je remercie
specialement Julien Maubon, Jean Fran cois Grosjean, Frederic Robert et Emmanuel
Humbert.
Merci egalement a tous mes camarades doctorants pour l’atmosphere conviviale et
amicale entretenue durant ces trois annees de these. Un grand merci a Safaa El Sayed
qui m’a soutenu et m’a encourage dans les moments les plus di ciles.
Je voudrais aussi temoigner toute ma reconnaissance envers la famille Valin : Chris-
tiane, Gilbert, Jean Fran cois, Patou et ma petite Maelys. Leur presence a mes c^otes
depuis mon premier jour en France (septembre 2007) a fait de moi ce que je suis. Ces
annees de these auraient ete tres di ciles sans leur accueil et leur soutien. Je ne pourrai
jamais assez les remercier.4
J’adresse egalement tous mes remerciements a toutes les personnes que j’ai ren-
contrees durant ces annees de these ou qui m’ont encourage tout au long de mon par-
cours. Je pense notamment a Jacqueline et Gilbert Sieste, Monique Alonzo, Christine
et Michel Jacquot, Nazo, Mere Virginie Feghali, Hasan Yassine, Piotr Karwasz, Joanna
Abdo, Mona Ibrahim....et j’en oublie suremen^ t. Qu’ils m’excusent.
J’ai aussi une pensee tres particuliere pour Christine Ohanian. Merci pour sa pa-
tience, ses encouragements, son amour et sa protection.
En n, je ne saurais trop exprimer ma gratitude envers ma mere, mon pere, mon frere
Roy et ma tante Amal. Ils m’ont apporte une aide precieuse dans les moments di ciles.
C’est plus qu’un merci que je leur dois.6Contents
1 Introduction to Complex Spin Geometry 47
1.1 The complex spin group and the spinor representation . . . . . . . . . . . 47
1.1.1 The complex Cli ord algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.1.2 The spin group and the spinor representation . . . . . . 49
c1.2 The Dirac operator on Riemannian Spin manifolds . . . . . . . . . . . . 52
c1.2.1 Spin structures on manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
c1.2.2 The Levi-Civita connection on the Spin bundle . . . . . . . . . . 55
c1.2.3 The Spin Dirac Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
c1.3 Spin structures on complex manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2 Lower Bounds 63
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
c2.2 Eigenvalue estimates of the Spin Dirac operator . . . . . . . . . . . . . 66
2.3 Conformal geometry and eigenvalue estimates . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.4 Equality case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.5 An example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3 The Hijazi Inequalities on Complete Manifolds 81
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.3 Proof of the Hijazi type inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4 The Energy-Momentum Tensor 93
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2 The Dirac operator on semi-Riemannian manifolds . . . . . . . . . . . . 95
c4.3 Semi-Riemannian Spin hypersurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.4 The generalized cylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.5 The variational formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
c4.6 The energy-momentum tensor on Spin manifolds . . . . . . . . . . . . . 107
4.7 Thetum tensor in low dimensions . . . . . . . . . . . . . . 110
4.7.1 The 2-dimensional case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.7.2 The 3-dimensional case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
78 CONTENTS
c5 Hypersurfaces of Spin Manifolds 119
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.2.1 Basic facts aboutE( ; ) and their hypersurfaces . . . . . . . . . 121
25.2.2 Basic facts aboutM (c) and their real hyp . . . . . . . 122C
c5.2.3 Hypersurfaces and induced Spin structures . . . . . . . . . . . . 123
25.3 Isometric immersions intoM (c) via spinors . . . . . . . . . . . . . . . . 124C
25.3.1 Special spinor elds on M (c) and their hypersurfaces . . . . . . . 124
C
c 25.3.2 Spin characterization of Hypersurfaces ofM (c) . . . . . . . . . . 128C
5.4 Isometric immersions intoE( ; ) via spinors . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.4.1 Special spinor elds on E( ; ) and their hypersurfaces . . . . . . 130
c5.4.2 Spin characterization of hypersurfaces ofE( ; ) . . . . . . . . . 132
5.5 Generalized Lawson correspondence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6 Eigenvalue Estimates 141
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.3 Upper bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.4 Lower bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.5 A geometric application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
c7 Spin Characterization of CR-structures 151
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.2 CR-structures on manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.3 and complex structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
c7.3.1 CR-structures via Spin structures . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
c7.3.2 Complex structures via Spin spinors . . . . . . . . . . . . . . . . 160Introduction
cLe sujet principal de cette these est d’exploiter les structures Spin dans le but
d’etudier la geometrie de certaines sous-varietes. Nous commen cons par etablir des
cresultats de base pour l’operateur de Dirac Spin . Ensuite, nous examinons les hyper-
csurfaces des varietes Spin admettant des spineurs speciaux.
La geometrie et la topologie d’une variete riemannienne compacte Spin sont forte-
ment reliees aux proprietes du spectre d’un operateur fondamental dit l’operateur de
Dirac. Cet operateur di erentiel lineaire d’ordre 1 agit sur les sections d’un bre vec-
toriel appele le bre des spineurs qui est comparable a une \racine carree" du bre des
formes di erentielles mais il s’en distingue par sa dependance par rapport a la metrique.
C’est surtout a travers la formule de Schr odinger-Lichnerowicz [L