UJF UFR de physique
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
- 1 - UJF-UFR de physique MASTER PHYSIQUE 1ère année LASER et PHOTONIQUE Travaux Pratiques 4 manipulations : 1- Laser Nd-YAG pompé par diode. 2- Réalisation d'un autocorrélateur optique pour la mesure d'une impulsion LASER. 3- Caractérisation d'un modulateur électro-optique: application aux télécommunications. 4- Caractérisation d'un faisceau laser et contrôle de son intensité. Année 2006/2007
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- 1 - UJF-UFR de physique MASTER PHYSIQUE 1ère année LASER et PHOTONIQUE Travaux Pratiques 4 manipulations : 1- Laser Nd-YAG pompé par diode. 2- Réalisation d'un autocorrélateur optique pour la mesure d'une impulsion LASER. 3- Caractérisation d'un modulateur électro-optique: application aux télécommunications. 4- Caractérisation d'un faisceau laser et contrôle de son intensité. Année 2006/2007
- waist w0 du faisceau gaussien initial et de la distance entre la position
- faisceau gaussien
- laser continu
- laser nd-yag
- distance focale
- faisceau laser
- loi gaussienne
Lycée Brizeux
1Développementslimités
Mathématiques
TP 4 : Polynômes
PCSI A2010-2011
Les développements limités peuvent tre réalisés à l’aide de la commandeseries(ou plus simplementtaylor). Attention, l’ordre indiqué dans la fonction est l’ordre du premier terme qui est négligeable. De plus Maple utilise la notationOet nono. Exercice 1.Déterminer les développements limités des fonctions suivantes aux points et aux ordres indiqués :
2 ln(1 + sin(x)) 1.x7→, enx= 0à l’ordre6; 3 1 + arctan(x) π 2.x7→cos(x), enx=à l’ordre12; 4 3.x7→sin(sin(sin(x))), enx= 0à l’ordre5; 4.x7→sin(sin(sin(...(sin(x))))), enx= 0à l’ordre5; | {z } 2011fois
2 Manipulationsgénérales sur les polynômes
2.1 Desfonctions Maple
3 Pour définir le polynômeP=X+ 2X+ 1en une indéterminéeX, on peut procéder de la manière suivante : P:=X^3 + 2*X + 1; > 3 P:=X+ 2X+ 1
Vous pouvez naturellement choisir d’appeler votre indéterminéeT,Z2outruc... Le logiciel Maple réalisera les calculs de manière formelle. Pour évaluer le polynômePen1(i.e. calculerP(1)) on pourra procéder de la manière suivante : subs(X=1,P); > Exercice 2.Voici une liste d’exercices. Utiliser les fonctions Maple proposées dans la liste ci-dessous pour résoudre chacun des exercices . Préciser (cf. page 2) ce que réalise chacune des fonctions de la liste. Liste des fonctions :sort;expand;quo;rem;divide;coeff;degree;collect. Liste d’exercices : 2 5 1. Présentersous forme développée et ordonnée le polynôme(X−1)(X+ 1). 13 75 39 2. Déterminer lequotient et le reste de la division euclidienne deX+ 11X+X−5X+ 2X+ 1parX+ 3 2 −X−4X−3. 9 7 3. Soitaetbdeux réels fixés. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne deX+aX+X+ 1 3 parX+b. 29 X k2 4. Vérifierque le polynômeXest divisible par1 +X+X. k=0 500 Y k 5. Déterminerle coefficient du terme de degré1000du polynôme :R= (X+ 1). k=1 6. Quelest le degré du polynômeR?
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Propriétés des fonctions : 1.sort: 2.collect: 3.expand: 4.quo: 5.rem: 6.divide: 7.coeff: 8.degree:
2.2 Réalisezvos propres fonctions
Mathématiques
PCSI A2010-2011
Exercice 3.A l’aide des fonctions vues au paragraphe précédent : 1. Réaliserune procédure nomméecoeffdomdont la variable d’entrée est un polynômeP(en l’indéterminéeX) et qui renvoie le coefficient dominant du polynômeP. 2. Réaliserune procédure nomméelistcoeffdont la variable d’entrée est un polynômeP( l’indéterminéeX) et qui renvoie la liste ordonnée des coefficients du polynômeP. 3. Réaliserune procédure nomméedegmindont la variable d’entrée est un polynômeP(en l’indéterminéeX) et qui renvoie le degré du terme de plus bas degré du polynômeP.
3 Racineset factorisation
3.1Déterminationdesracines
La fonctionsolvepermet de déterminer des racines de polynômes. Maple vous retourne la liste des racines qu’il a obtenu. 2 34 Exercice 4.Déterminer les racines deX+X+ 1,X+X+ 1puis deX+X+ 1?. Que constate-t-on On ne dispose pas de formule (comme celle que vous connaissez pour le degré2, utilisant les opérations classiques de l’algèbre) permettant de calculer les racines (exactes) d’un polynôme quelconque dès que son degré dépasse5. De plus les formules en degré4peuvent tre compliquées à mettre en oeuvre. Au moins deux choix s’offrent alors à vous : ?trouver des valeurs approchées des racines (utiliserevalf) ; ?manipuler formellement les racines des polynômes. Maple définit les racines du polynôme à l’aide de la fonction RootOf: le résultat est alors utilisable dans des calculs ultérieurs. 4 Exercice 5.Nous allons illustrer cela sur le polynômeP:=X+X+ 1. −3 1. Résolution numérique : donner une valeur approchée à10d’une racine deP; nommerrcette racine puis 4 calculerr+r. 4 2. Calculformel : définissez une racine exactesdeP. Calculez alorss+s(utilisezsimplify).
3.2 Factorisation
La commandefactorpermet de factoriser des expressions polynomiales. 1. Utilisercette commande sur les polynômes suivants et recopier la factorisation obtenue. Préciser s’il s’agit ou non de la factorisation en produit de facteurs irréductibles dansR[X]et dansC[X]:
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Mathématiques
PCSI A2010-2011
Polynôme DécompositionobtenueR[X]?C[X]? 2 X−1 2 X−2 2 X+ 1 5 X−1 4 2 X+X+ 1 √ 2 X+ 22X+ 2 3 X−X+ 1 On remarque que la factorisation obtenue est réalisée dans le corps des coefficients du polynôme.
2. L’obtentiond’une forme factorisée d’un polynôme est bien souvent tributaire du calcul de racines de ce polynôme. On peut cependant forcer Maple à factoriser dansC[X]ouR[X]en ajoutant l’argumentcomplexdans la fonction factor: cependant le calcul des racines est alors réaliséde manière approchée. Utiliser cette commande pour factoriser dansCet dansRles polynômes suivants : Polynôme DécompositionsurCDécomposition surR 2 X+ 1 5 X−1 4 2 X+X+ 1 3 X−X+ 1
4 Polynômesde Tchebycheff
La suite des polynômes de TchebycheffTn∈R[X]sont définis parT0(X) = 1,T1(X) =Xet pour toutn≥0par la relation : Tn+2(X) = 2XTn+1(X)−Tn(X)
Exercice 6.Réaliser une procédure dont la variable d’entrée est un entiern≥0et qui renvoie le polynômeTn (donner une version récurssive et une version itérative). Que peut-on conjecturer pour le degré deTn? Exercice 7.Représenter graphiquement plusieurs polynômesTnsur[−1,1]. Que peut-on conjecturer pour les racines deTn? On peut vérifier que pour toutn∈N: cos(nθ) =Tn(cos(θ)) On détermine alors sans difficultés les racines deTn. Les racines des polynômes de Tchebycheff sont utilisées dans les problèmes d’interpolation polynomiale (i.e. lorsqu’on cherche à approcher une fonction par un polynôme). Nous aurons l’occasion d’en reparler...
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