Universite d'Orleans Licence de Mathematiques
3
pages
Français
Documents
2007
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite d'Orleans Licence de Mathematiques Unite L6MT02 Integration, Fourier, Probabilites Examen du 24 mai 2007 duree 3h Le polycopie de cours, les notes manuscrites, et les calculatrices sont autorises. Le sujet est constitue de trois exercices independants. Tout resultat donne dans l'enonce peut etre admis pour traiter les questions suivantes. Exercice I Montrer qu'il existe une unique constante ? telle qu'on puisse construire une variable aleatoire X a valeurs dans N? avec ?n ? N? P (X = n) = ? 1n6 . Soit X une telle variable aleatoire et ? un reel. Determiner pour quelles valeurs de ? la variable X? est integrable. Exercice II 1. Inegalites (a) Montrer que pour tout x ? [0, 2/3], on a ? log(1? x) ≤ x+ 12 x2 1? x ≤ 2x. Indication : on pourra effectuer un developpement en serie. (b) Montrer que pour tout x ? [?pi4 , pi4 ], on a cos2 x ≥ 1? x2 ≥ e?2x2 . (On pourra admettre que pi216 ≤ 23 .) (c) Montrer que pour tout n ≥ 1, on a ∫ pi/4 0 cos2n x dx ≥ ∫ +∞ 0 e?2nx2 dx? ∫ +∞ pi/4 e?2nx2 dx.
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Universite d'Orleans Licence de Mathematiques Unite L6MT02 Integration, Fourier, Probabilites Examen du 24 mai 2007 duree 3h Le polycopie de cours, les notes manuscrites, et les calculatrices sont autorises. Le sujet est constitue de trois exercices independants. Tout resultat donne dans l'enonce peut etre admis pour traiter les questions suivantes. Exercice I Montrer qu'il existe une unique constante ? telle qu'on puisse construire une variable aleatoire X a valeurs dans N? avec ?n ? N? P (X = n) = ? 1n6 . Soit X une telle variable aleatoire et ? un reel. Determiner pour quelles valeurs de ? la variable X? est integrable. Exercice II 1. Inegalites (a) Montrer que pour tout x ? [0, 2/3], on a ? log(1? x) ≤ x+ 12 x2 1? x ≤ 2x. Indication : on pourra effectuer un developpement en serie. (b) Montrer que pour tout x ? [?pi4 , pi4 ], on a cos2 x ≥ 1? x2 ≥ e?2x2 . (On pourra admettre que pi216 ≤ 23 .) (c) Montrer que pour tout n ≥ 1, on a ∫ pi/4 0 cos2n x dx ≥ ∫ +∞ 0 e?2nx2 dx? ∫ +∞ pi/4 e?2nx2 dx.
- polynome pn ?
- universite d'orleans licence de mathematiques
- variable aleatoire
- dx ≥
- e?2nx2 dx
Universit´ed’Orl´eans
Unite´L6MT02
LicencedeMath´ematiques
Inte´gration,Fourier,Probabilite´s Examen du 24 mai 2007 dure´e3h Lepolycopie´decours,lesnotesmanuscrites,etlescalculatricessontautorise´s. Lesujetestconstitu´edetroisexercicesinde´pendants.Toutr´esultatdonn´e dansl’´enonc´epeuteˆtreadmispourtraiterlesquestionssuivantes.
Exercice I Montrer qu’il existe une unique constanteγtelle qu’on puisse construire une ∗ variableal´eatoireXsnav`lauesradNavec 1 ∗ ∀n∈NP(X=n) =γ . 6 n SoitXreoiat´ealleabriavelletenuteαeeulrlsesuvraqluerpormine´etleD.rne´u α deαla variableXe.blrae´tgetsni
Exercice II 1.Ine´galite´s (a) Montrerque pour toutx∈[0,2/3], on a 2 1x −log(1−x)≤x+≤2x. 2 1−x Indication:onpourraeffectuerund´eveloppementense´rie. π π (b) Montrerque pour toutx∈[−,], on a 4 4 2 2 2−2x cosx≥1−x≥e . 2 π2 (On pourra admettre que≤.) 16 3 (c) Montrerque pour toutn≥1, on a Z ZZ π/4 +∞+∞ 2 2 2n−2nx−2nx cosx dx≥e dx−e dx. 0 0π/4
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