Université d Orléans Master Econométrie et Statistique Appliquée
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Niveau: Supérieur, Master
Université d?Orléans - Master Econométrie et Statistique Appliquée Econométrie des Variables Qualitatives Examen Mai 2009. C. Hurlin Exercice 1 (13 points) : Modèle Probit1 On considère un modèle dichotomique tel que : yi = ( 1 0 si yi 0 si yi < 0 ; (1) où la variable latente yi véri?e : yi = + xi + i; (2) où i N:i:d: (0; 1) et où la variable xi est une variable dichotomique prenant deux valeurs f0; 1g. On dispose de 100 observations réparties de la façon suivante : Nombre d?Observations yi xi 16 observations yi = 1 xi = 1 26 observations yi = 1 xi = 0 32 observations yi = 0 xi = 1 26 observations yi = 0 xi = 0 Question 1 (1 point) : Déterminez en fonction des paramètres et , et de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, noté (:) ; la probabilité d?apparition de l?évenement yi = 1; notée Pr (yi = 1) : Question 2 (2 points) : Déterminez la fonction de log-vraisemblance de ce modèle probit. Question 3 (2 points) : Montrez que les réalisations des estimateurs du maximum de vraisem- blance (MV) des paramètres et valent : b = 1 (0:5) = 0; (3) b = 1 (1=3) = 0:43; Remarque : on préconise de considérer un changement de variable dans la log-
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Université d?Orléans - Master Econométrie et Statistique Appliquée Econométrie des Variables Qualitatives Examen Mai 2009. C. Hurlin Exercice 1 (13 points) : Modèle Probit1 On considère un modèle dichotomique tel que : yi = ( 1 0 si yi 0 si yi < 0 ; (1) où la variable latente yi véri?e : yi = + xi + i; (2) où i N:i:d: (0; 1) et où la variable xi est une variable dichotomique prenant deux valeurs f0; 1g. On dispose de 100 observations réparties de la façon suivante : Nombre d?Observations yi xi 16 observations yi = 1 xi = 1 26 observations yi = 1 xi = 0 32 observations yi = 0 xi = 1 26 observations yi = 0 xi = 0 Question 1 (1 point) : Déterminez en fonction des paramètres et , et de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, noté (:) ; la probabilité d?apparition de l?évenement yi = 1; notée Pr (yi = 1) : Question 2 (2 points) : Déterminez la fonction de log-vraisemblance de ce modèle probit. Question 3 (2 points) : Montrez que les réalisations des estimateurs du maximum de vraisem- blance (MV) des paramètres et valent : b = 1 (0:5) = 0; (3) b = 1 (1=3) = 0:43; Remarque : on préconise de considérer un changement de variable dans la log-
- econométrie des variables qual- itatives
- université d?orléans - master
- réalisations des estimateurs du maximum de vraisem- blance
- observations yi
- probabilité
- yi véri?e
- variable tps
Université dOrléans - Master Econométrie et Statistique Appliquée Econométrie des Variables Qualitatives
Examen Mai 2009.C. Hurlin
1 Exercice 1 (13 points) :Modèle Probit On considère un modèle dichotomique tel que : ( 1 siy0 i yi=;(1) 0 siy <0 i où la variable latenteyvérie : i y) i=+xi+"i;(2 où"iN:i:d:(0;1)et où la variablexiest une variable dichotomique prenant deux valeursf0; 1g. On dispose de 100 observations réparties de la façon suivante : Nombre dObservationsyixi 16 observationsyi= 1xi= 1 26 observationsyi= 1xi= 0 32 observationsy= 0x= 1 i i 26 observationsy= 0x= 0 i i
Question 1(1 point): Déterminezen fonction des paramètreset, et de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, noté (:);la probabilité dapparition de lévenementyi= 1;notéePr (yi= 1): Question 2(2 points): Déterminezla fonction de log-vraisemblance de ce modèle probit. Question 3(2 points)que les réalisations des estimateurs du maximum de vraisem-: Montrez blance (MV) des paramètresetvalent : 1 b= (0:5) = 0;(3) 1 b = (1=3) =0:43; Remarque :on préconise de considérer un changement de variable dans la log-vraisemblance du modèle en posantz1= (+)etz2(= );de déterminer les quantités optimales zb1etzb2qui annulent le gradient, et en déduire enn les estimateurs du MV. Question 4(2 points)que lestimation de le¤et marginal associé à la variable: Montrezx est égal pour tous les individus à1=6.on rappelle que la variableRemarque :xiest dichotomique et ne peut prendre que deux valeurs, i.e. 0 et 1. Question 5(2 points): Testezlhypothèse nulleH0:= 0en utilisant un test de ratio de vraisemblance. 1 Daprès lexemple donné dans le polycopié de cours de Jean Marc Robin "Econométrie des Variables Qual-itatives", Université Paris 1.
