Universite d'Orleans UFR Sciences Departement de Mathematiques
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Niveau: Supérieur, Master
Universite d'Orleans UFR Sciences Departement de Mathematiques Master de Mathematiques M1S2MT03 –Analyse fonctionnelle & applications aux EDP Printemps 2012 Page web : http : // Distributions temperees Definitions : Le dual topologique de S(Rn) est l'espace S ?(Rn) des distributions temperees. En termes plus explicites, une distribution temperee sur Rn est une application lineaire T : S(Rn)?? C verifiant les conditions equivalentes suivantes : (a) T est continue, (b) ? k, ?N et ? C≥0, ? f?S(Rn), |T (f)| ≤ C N ?k,(f) [ resp. |T (f)| ≤ C N ??k,(f) ], (c) ? m?N et ? C≥0, ? f?S(Rn), |T (f)| ≤ C Nm(f). L'ordre de T est le plus petit entier intervenant dans la condition (b). On note souvent ?T, f ? au lieu de T (f). Exemples : • Toute fonction ??Lp(Rn) (1≤p≤∞) definit une distribution temperee d'ordre 0 par ?T, f ? = ∫ Rn f(x)?(x) dx . On peut considerer plus generalement des fonctions ? localement integrables a croissance moderee i.
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Universite d'Orleans UFR Sciences Departement de Mathematiques Master de Mathematiques M1S2MT03 –Analyse fonctionnelle & applications aux EDP Printemps 2012 Page web : http : // Distributions temperees Definitions : Le dual topologique de S(Rn) est l'espace S ?(Rn) des distributions temperees. En termes plus explicites, une distribution temperee sur Rn est une application lineaire T : S(Rn)?? C verifiant les conditions equivalentes suivantes : (a) T est continue, (b) ? k, ?N et ? C≥0, ? f?S(Rn), |T (f)| ≤ C N ?k,(f) [ resp. |T (f)| ≤ C N ??k,(f) ], (c) ? m?N et ? C≥0, ? f?S(Rn), |T (f)| ≤ C Nm(f). L'ordre de T est le plus petit entier intervenant dans la condition (b). On note souvent ?T, f ? au lieu de T (f). Exemples : • Toute fonction ??Lp(Rn) (1≤p≤∞) definit une distribution temperee d'ordre 0 par ?T, f ? = ∫ Rn f(x)?(x) dx . On peut considerer plus generalement des fonctions ? localement integrables a croissance moderee i.
- master de mathematiques m1s2mt03
- description des distributions
- distribution temperee d'ordre
- conditions de decroissance de la classe de schwartz
Universit´ed’Orl´eansMasterdeMath´ematiques UFR SciencesM1S2MT03 – Analysefonctionnelle D´epartementdeMath´ematiques&applicationsauxEDP Printemps 2012 Page web: http :/www.univ–orleans.fr/mapmo/membres/anker/enseignement/AF2.html
Distributionstempe´r´ees
De´finitions: n′n Le dual topologique deS(R) est l’espaceS(Rirubitnotsme´pre.es´e)desdist n En termes plus explicites, uneeree´dibutistremp´iontsurRreailnoie´nilppataciutense n T:S(R)−→Cv´:setnaviussivalenteions´equseocdntirefiinalt (a)Test continue, n′ ′′ (b)∃k, ℓ∈Net∃C≥0,∀f∈ S(R),|T(f)| ≤C N(fresp.) [|T(f)| ≤C N(f) ], k,ℓ k,ℓ n (c)∃m∈Net∃C≥0,∀f∈ S(R),|T(f)| ≤C Nm(f). L’ordredeTest le plus petit entierℓintervenant dans la condition (b). On note souventhT, fiau lieu deT(f). Exemples : p n •Toute fonctionϕ∈L(R) (1≤p≤ ∞0erdrapee´rro’dinutenid)´dfieontemp´estributi Z hT, fi=f(x)ϕ(x)dx . n R Onpeutconside´rerplusge´ne´ralementdesfonctionsϕcolalittnmenecnasegr´eleabacs`isro mode´r´eei.e. (a)ϕest mesurable, Z (b)∀r >0,I(r) =|ϕ(x)|dx <+∞, kxk ≤r N (c)∃N∈Net∃C≥0,I(r)≤C(1+r) . Ladistributioncorrespondanteestsouventnot´eeT=ϕ(x)dx. pp1 six >0 Cas particulier: Lafonction de HeavisideH(xsur) =R. 0 six <0 •Les mesures de Dirachδa, fi=f(aionsibutistrdesdo’dreedse´´retpmusPl0.re)tnos ge´n´eralement,toutemesurebor´elienne`acroissanceaupluspolynomialed´efinitunedis tributiontemp´ere´ed’ordre0. 1 SurR, la fonctionx7→ediv.etn`eni´ereontimadenfie´dennesupaitburistdi • Z x f(x) 1 Savaleur principaleestd´enfieiaprhvp, fi= limεց0dx. x x |x|>ε Z ZZ 1 f(x) 1′ On montre quehvp, fi=dx+fdx dt(tx) . x x |x|>1|x|≤1 0 C’estunedistributiontempe´r´eed’ordre1. ′n D´efinition:On dit qu’une suite (Tj) converge versTdansS(R) si elle converge faiblement i.e. n ∀f∈ S(R),hTj, fi −→ hT, fi.
