Universite d'Orleans UFR Sciences Departement de Mathematiques
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Niveau: Supérieur, Master
Universite d'Orleans UFR Sciences Departement de Mathematiques Master de Mathematiques SMO2MA03 –Analyse fonctionnelle & applications aux EDP Printemps 2012 Page web : http : // Feuille d'exercices Fonctions continues sur un compact Soit X un espace compact. On designe par C(X) l'ensemble des fonctions continues sur X, a valeurs dans F= R ou C. Exercice 1. Verifier que C(X) est une algebre de Banach avec unite. Plus precisement : • C(X) est stable pour l'addition des fonctions, definie par (f+g)(x) = f(x)+g(x), • C(X) est stable pour la multiplication scalaire des fonctions, definie par (?f)(x) = ?f(x), • C(X) est stable pour le produit des fonctions, defini par (f g)(x) = f(x)g(x), • la fonction constante 1 est une unite, • ?f?∞= supx?X |f(x)| est une norme sur C(X), • ?f g?∞≤ ?f?∞?g?∞ , • ?1?∞= 1, • C(X) est complet pour la norme ? . ?∞ . Exercice 2. Demontrer le lemme de Dini : Soit fn :X?R une suite monotone de fonctions continues qui converge simplement vers une fonction continue f :X?R.
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Universite d'Orleans UFR Sciences Departement de Mathematiques Master de Mathematiques SMO2MA03 –Analyse fonctionnelle & applications aux EDP Printemps 2012 Page web : http : // Feuille d'exercices Fonctions continues sur un compact Soit X un espace compact. On designe par C(X) l'ensemble des fonctions continues sur X, a valeurs dans F= R ou C. Exercice 1. Verifier que C(X) est une algebre de Banach avec unite. Plus precisement : • C(X) est stable pour l'addition des fonctions, definie par (f+g)(x) = f(x)+g(x), • C(X) est stable pour la multiplication scalaire des fonctions, definie par (?f)(x) = ?f(x), • C(X) est stable pour le produit des fonctions, defini par (f g)(x) = f(x)g(x), • la fonction constante 1 est une unite, • ?f?∞= supx?X |f(x)| est une norme sur C(X), • ?f g?∞≤ ?f?∞?g?∞ , • ?1?∞= 1, • C(X) est complet pour la norme ? . ?∞ . Exercice 2. Demontrer le lemme de Dini : Soit fn :X?R une suite monotone de fonctions continues qui converge simplement vers une fonction continue f :X?R.
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Universit´ed’Orl´eans UFR Sciences D´epartementdeMath´ematiques
MasterdeMath´ematiques SMO2MA03 – Analysefonctionnelle & applications aux EDP Printemps 2012
Page web: http :/www.univ–orleans.fr/mapmo/membres/anker/enseignement/AF2.html
Feuille d’exercices Fonctions continues sur un compact
SoitXenucapsmocetcap.Ond´esigneparC(X) l’ensemble des fonctions continues sur Xa`,ansdsruelavF=RouC.
Exercice 1.´VreuqCefiire(XvehanicueBedacanglaerbe`e)nutsement:rpe´ic´s´t.elPsu •C(X,dnsioctonsfdeonitidda’lruopelba)estst(reiape´nfif+g)(x) =f(x) +g(x), •C(Xdereaialioctonsfnfie´d,sn(rapeistab)esturlalepopiilumtlnocsacitλf)(x) = λf(x), •C(Xdurodeitonsfioctd,snnfie´rapi()sestatlbpeuolrpef g)(x) =f(x)g(x), •,e´tinuenutse1ealtantconstionfonc kfk∞= sup|f(x)|est une norme sur C(X), • x∈X kf gk∞≤ kfk∞kgk∞, • k1k∞= 1, • •C(X) est complet pour la normek.k∞.
Exercice 2.e´Dlrertnommedeelem:Dini Soitfn:X→Rune suite monotone de fonctions continues qui converge simplement vers une fonction continuef:X→R. Alors(fnungeernvco)resnevt´mmefirof.
Exercice 3.´emoDtrass:edeWeisre´roe`emntvathduieuluirsapsacitrertncelr Ond´efinitparr´ecurrence,pourtoutx∈R, p0(x) = 0, 1 2 pn+1(x) =pn(x) +{x−pn(x)} ∀n∈N. 2 Alors (i) Lesfonctionspnsont polynomiales. (ii)pn(x´mmenevtresrofinuegrevnoc)xsur [0,me´s,tne1].Pluspr´eci 2 ∀n∈N,∀x∈[0,1], 0≤x−pn(x)≤. n+2 Indicationqecnerru,euontr:Onmr´ecepar 2x √ ∀n∈N,∀x∈[0,1], 0≤x−pn(x)≤. 2 +n x (iii)∀n∈N,∀x∈[0,0 =1], on ap0(x)≤. . .≤pn(x)≤pn+1(x)≤. . .≤x.
