Universite de Nancy I Master
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Niveau: Supérieur, Master
Universite de Nancy I Master 1 Probabilites et Modelisation Stochastique Examen du 25 octobre 2008 duree 3h Les documents papier (livres, polycopies, notes manuscrites,. . .) sont autorises. Les calculatrices respectant la reglementation (dimensions inferieures a 15 cm par 20 cm, alimentation autonome, pas d'imprimante) sont autorisees. Tout instrument de communication, qu'il en soit fait ou non usage, est interdit. Le sujet est constitue d'un exercice et d'un probleme independants. Toutes les variables aleatoires considerees dans le sujet sont a valeurs reelles et definies sur un meme espace de probabilite (?,F ,P). L'operateur d'esperance est note E. Tout resultat donne dans l'enonce peut etre admis pour traiter les questions suivantes. – Exercice – Soit (Xn)n≥1 une suite de variables aleatoires independantes suivant la loi de Laplace, c'est a dire telle que la loi de Xn sous P admette la densite x 7? 12e?|x| par rapport a la mesure de Lebesgue. Soit (an)n≥1 une suite de reels strictement positifs. Enoncer et demontrer une condition necessaire et suffisante sur la suite (an)n≥1 pour que la serie de terme general anXn converge presque surement. 1 Tournez la page S.V.P.
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Universite de Nancy I Master 1 Probabilites et Modelisation Stochastique Examen du 25 octobre 2008 duree 3h Les documents papier (livres, polycopies, notes manuscrites,. . .) sont autorises. Les calculatrices respectant la reglementation (dimensions inferieures a 15 cm par 20 cm, alimentation autonome, pas d'imprimante) sont autorisees. Tout instrument de communication, qu'il en soit fait ou non usage, est interdit. Le sujet est constitue d'un exercice et d'un probleme independants. Toutes les variables aleatoires considerees dans le sujet sont a valeurs reelles et definies sur un meme espace de probabilite (?,F ,P). L'operateur d'esperance est note E. Tout resultat donne dans l'enonce peut etre admis pour traiter les questions suivantes. – Exercice – Soit (Xn)n≥1 une suite de variables aleatoires independantes suivant la loi de Laplace, c'est a dire telle que la loi de Xn sous P admette la densite x 7? 12e?|x| par rapport a la mesure de Lebesgue. Soit (an)n≥1 une suite de reels strictement positifs. Enoncer et demontrer une condition necessaire et suffisante sur la suite (an)n≥1 pour que la serie de terme general anXn converge presque surement. 1 Tournez la page S.V.P.
- yn ?
- calculatrices respectant la reglementation
- variable aleatoire
- independantes suivant la loi de laplace
- theoreme de convergence de doob
UniversitedeNancyI
ProbabilitesetModelisationStochastique Examen du 25 octobre 2008 duree3h Lesdocumentspapier(livres,polycopies,notesmanuscrites,...)sontautorises. Lescalculatricesrespectantlareglementation(dimensionsinferieuresa15cmpar 20cm,alimentationautonome,pasd’imprimante)sontautorisees. Tout instrument de communication, qu’il en soit fait ou non usage, est interdit. Lesujetestconstitued’unexerciceetd’unproblemeindependants.
Touteslesvariablesaleatoiresconsidereesdanslesujetsontavaleursreelles etdeniessurunmˆemeespacedeprobabilite(,F,P). L’operateurd’esperanceestnoteE. Toutresultatdonnedansl’enoncepeuteˆtreadmispourtraiterlesquestions suivantes. – Exercice – Soit (Xn)n1editnavolaliaareveditsuneutaioerislbselaeantessuindepend 1|x| Laplace,c’estadiretellequelaloideXnsousPemdanedalettesitx7→e 2 parrapportalamesuredeLebesgue.Soit(an)n1emtnenutiusedereelsstricte positifs. Enonceretdemontreruneconditionnecessaireetsusantesurlasuite(an)n1 pourquelaseriedetermegeneralanXnrement.esquesˆuvnreegrpoc
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