Universite de Nice Sophia Antipolis L1 MP Algebre semestre
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Universite de Nice Sophia-Antipolis L1 - MP Algebre 10-11 semestre 1 3 Matrices a coefficients dans un corps Soit K un corps. 3.1 Definitions Definition 3.1.1 Soit n et p deux entiers naturels. Une matrice n ? p a coefficients dans K est la donnee d'une famille (ai,j)1≤i≤n,1≤j≤p de np elements de K . Elle est representee par le tableau a n lignes et p colonnes : M = ? ? ? ? ? ? a1,1 . . . a1,p a2,1 . . . a2,p ... . . . ... an,1 . . . an,p ? ? ? ? ? ? . l'element ai,j de K est appele le terme de la i-eme ligne et j-eme colonne. On dit aussi que la matrice M est une matrice a n lignes et p colonnes. Notation 3.1.2 On note Mn,p(K) l'ensemble des matrices a n lignes et p colonnes. Soit a1, . . . , ap ? K, la matrice (a1a2 . . . ap) ?M1,p(K) est appelee matrice ligne. Soit a1, . . . , an ? K, la matrice : ? ? ? ? a1 ... an ? ? ? ? ?Mn,1(K) est appelee matrice colonne.
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Universite de Nice Sophia-Antipolis L1 - MP Algebre 10-11 semestre 1 3 Matrices a coefficients dans un corps Soit K un corps. 3.1 Definitions Definition 3.1.1 Soit n et p deux entiers naturels. Une matrice n ? p a coefficients dans K est la donnee d'une famille (ai,j)1≤i≤n,1≤j≤p de np elements de K . Elle est representee par le tableau a n lignes et p colonnes : M = ? ? ? ? ? ? a1,1 . . . a1,p a2,1 . . . a2,p ... . . . ... an,1 . . . an,p ? ? ? ? ? ? . l'element ai,j de K est appele le terme de la i-eme ligne et j-eme colonne. On dit aussi que la matrice M est une matrice a n lignes et p colonnes. Notation 3.1.2 On note Mn,p(K) l'ensemble des matrices a n lignes et p colonnes. Soit a1, . . . , ap ? K, la matrice (a1a2 . . . ap) ?M1,p(K) est appelee matrice ligne. Soit a1, . . . , an ? K, la matrice : ? ? ? ? a1 ... an ? ? ? ? ?Mn,1(K) est appelee matrice colonne.
- combinaison lineaire des matrices m1
- general de la matrice mn
- egalites entre matrices
- universite de nice - sophia-antipolis
- ?mn
Universit´edeNiceSophia-Antipolis 10-11
3 Matrices a coefficients dans un corps ` Soit K un corps.
L1-MPAlg´ebre semestre 1
3.1 Definitions ´ De´finition3.1.1 Soit n et p deux entiers naturels. Une matrice n × p `acoefficientsdans K estladonne´e d’une famille ( a i j ) 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ p de np e´le´mentsde K . , Elleestrepr´esente´eparletableaua` n lignes et p colonnes : a 1 , 1 . . . a 1 ,p M = a 2 , 1 . . . a 2 ,p . a . n, 1 ......a . n,p l’´ele´ment a i j de K estappele´letermedela i -`emeligneet j -e`mecolonne.Onditaussiquelamatrice M est , unematrice`a n lignes et p colonnes. Notation 3.1.2 On note M n,p ( K ) l’ensembledesmatricesa` n lignes et p colonnes. Soit a 1 , . . . , a p ∈ K , la matrice ( a 1 a 2 . . . a p ) ∈ M 1 ,p ( K )estappel´eematriceligne. aa 1 n ∈ M n, 1 ( ) es Soit a 1 , . . . , a n ∈ K , la matrice : . K tappele´ematricecolonne. On note 0 la matrice de M n,p ( K ) dont tous les coefficients sont nuls.
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Notation 3.1.3 Lesmatricesa` n lignes et n colonnessontappel´eesmatricescarr´eesdetaille n . L’ensemble decesmatricesseranot´e M n ( K ) . Soit M = ( a i,j ) 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n ∈ M n ( K )unematricecarr´ee.Sescoefficients a i,i sontappel´escoefficients diagonaux. a 1 , 1 0 La matrice M est dite diagonale si a i,j = 0 pour i 6 = j : M = ... . 0 a n,n i > a 0 1 , 1 aa 21 ,, 22 aa 21 ,,nn . j : M =. La matrice M estditetriangulairesupe´rieuresi a i,j = 0 pour . . 0 0 a n,n 00 a 1 0 , 2 a 2 , 3 aa 12 ,,nn La matrice M estditetriangulairesup´erieurestrictesi a i,j = 0 pour i ≥ j : M = . . . . 0 0 a n − 1 ,n 0 0 0 Enfin, on note I n ∈ M n ( K )lamatricediagonaledontlese´le´mentsdiagonauxsont´egauxa`1: 011000 ...... 00 I n = 0 . 00 ...... 001001 Op´erationssur M n,p ( K ) : Nousallonsde´finirtroisop´erationssurlesmatrices.Soit M = ( a i,j ), N = ( b i,j ) ∈ M n,p ( K ) et λ ∈ K .
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Addition sur M n,p ( K ) : La somme de M et N est la matrice de M n,p ( K )determeg´ene´ral( a i,j + b i,j ) : b 1 , 1 . . . bb 1 , aa n 1 ,, 11 ......aa n 1 ,,pp + b n, 1 . . . b n,pp = aa n 1 ,, 11 ++ bb n 1 ,, 11 ......aa n 1 ,,pp ++ bb n 1 ,,pp . Multiplicationparune´l´ementdeK: Soit λ ∈ K , le produit de M par λ est la matrice de M n,p ( K ) determege´ne´ral( λa i,j ) : λ aa 1 n,, 11 ......aa 1 n,,pp = λλaa 1 n,, 11 ......λλaa n 1 ,,p . p Nous noterons − M lamatricedetermege´ne´ral( − a i,j ) : − a 1 , 1 . . . − a 1 p , − M = ( − 1) M = − a , 1 . . . − a n p . n , Cesdeuxope´rationsmunissent M n,p ( K ) d’une structure de K -espacevectoriel,c’esta`direv´erifient:
1. L’addition est une loi de groupe commutatif sur M n,p ( K ) : pour tout M, N, P ∈ M n,p ( K ) : ( M + N ) + P = ( M + N ) + P associativit´e , M + N = N + P commutativite , ´ M + 0 = 0 + M = M 0este´le´mentneutre , M + ( − M ) = ( − M ) + M = 0 existence d 0 unoppose´ .
2. Pour tout λ, µ ∈ K :
λ ( µM ) = ( λµ ) M , λ ( M + N ) = λM + λN , ( λ + µ ) M = λM + νM , 1 .M = M .
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Nous noterons M − N = M + ( − N ).
Si M 1 , . . . , M l ∈ M n,p ( K ), λ 1 , . . . , λ l ∈ K , la matrice λ 1 M 1 + λ 2 M 2 + ∙ ∙ ∙ + λ l M l est dite une combinaison lin´eairedesmatrices M 1 , . . . , M l . era Produit lignes-colonnes : Nousallonsd´efiniruneop´tionditeproduitquiassocieraa` M ∈ M n,p ( K ), N ∈ M p,q ( K )unematricenot´ee M N ∈ M n,q ( K )etappele´eproduitde M par N ou encore une application : M n,p ( K ) × M p,q ( K ) −→M n,q ( K ) ; ( M, N ) 7→ M N . Commenc¸onsparde´finirceproduitdanslecasduproduitd’unematriceligneparunematricecolonne, c’esta`dired’unematricede M 1 p ( K ) par une matrice M p, 1 ( K ) : , M 1 ,p ( K ) × M p, 1 ( K ) −→M 1 , 1 ( K ) = K , b 1 b L = ( a 1 a 2 . . . a p ) , C = b . 2 p 7−→ LC = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ∙ ∙ ∙ + a p b p . ` Apartirdel`a,leproduitd’unematricede M n,p ( K ) par une matrice de M p,q ( K )estalorsde´finiepar: a 1 , 1 . . . a 1 ,p M = a n, 1 . . . a n,p , N = bb n 1 ,, 11 ......bb 1 n,,pp 7−→ M N = LLL 12 n CCC 111 .........LLL 12 n CCC qqq . e M et C j = bb 21 ,j est la j -e`mecolonnede N . Ainsi, le terme ` L i = ( a i, 1 a i, 2 . . . a i,p ) est la i -e`meligned ,j ou . b p,j k = p g´en´eraldelamatrice M N ∈ M n,q ( K ) est : L i C j = X a i,k b k,j . k =1 4
Proposition 3.1.4 De`squ’ellesontunsens,nousavonslese´galit´esentrematrices: ( M N ) P = M ( N P )not´e: M N P , M ( N + P ) = M N + M P , ( λM ) N = M ( λN ) = λ ( M N )note´: λM N , ( M + N ) P = M P + N P , I n M = M I p = M ∀ M ∈ M n,p ( K ) . L’anneau M n ( K ) desmatricescarr´ees: En particulier, M n ( K )estmunidedeuxope´rations: addition : M n ( K ) × M n ( K ) −→M n ( K ) , ( M, N ) −→ M + N , multiplication : M n ( K ) × M n ( K ) −→M n ( K ) , ( M, N ) 7 −→ M N . Muni de l’addition, nous avons vu que M n ( K ) est un groupe commutatif. Mais, on a de plus : a) La multiplication est associatice : ∀ M, N, P ∈ M n ( K ) ( M N ) P = M ( N P ) , b)Elleestdistributiveparrapport`al’addition: ∀ M, N, P ∈ M n ( K ) M ( N + P ) = M N + M P et ( M + N ) P = M P + N P , c) La multiplication admet I n comme´ele´mentneutre: ∀ M ∈ M n ( K ) I n M = M I n = M . Onre´sumetoutpri´t´sendisantque M n ( K )estunanneauunitaire.Onnoteraqu’eng´en´eral es ces pro e e si M et N sont deux matrices de M n ( K ) : M N 6 = N M .
Notation 3.1.5 Si M ∈ M n ( K ) , on note M M = M 2 , M M M = M 3 et pour tout entier n , M n le produit n fois de M parellemeˆme.
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De´finition3.1.6 Une matrice M ∈ M n ( K ) est dite inversible, s’il existe N ∈ M n ( K ) tel que M N = N M = I n . La matrice N estalorsunique,appele´einversede M etnot´ee M − 1 . Nous notons Gl n ( K ) l’ensemble des matrices inversibles de M n ( K ) . Proposition 3.1.7 La matrice I n est inversible, si M et M sontdeuxmatricescarre´esinversibles,lesma-trices produits M N et N M sont inversibles. De plus : ( M N ) − 1 = N − 1 M − 1 et ( N M ) − 1 = M − 1 N − 1 . Si M estunematricecarr´eeinversible,soninverse M − 1 est inversible et ( M − 1 ) − 1 = M Remarque 3.1.8 En fait, muni du produit matriciel, Gl n ( K ) est un groupe. Nousmontrerons(proposition3.3.4)quesiunematricecarr´ee M ∈ M n ( K )admetuninverse`agauche M ,c’esta`dires’ilexiste N ∈ M n ( K ) telle que N M = I n , alors M est inversible et M − 1 = N .Demˆeme,si M ∈ M n ( K )admetuninversea`droite M ,c’esta`dires’ilexiste N ∈ M n ( K ) telle que M N = I n , alors M est inversible M est inversible et M − 1 = N .
Transposition : C’estuneapplicationquia` M ∈ M n,p ( K )associeunematricenote´e t M ∈ M p,n ( K ) et appel´eelatranspose´ede M de´finiepar: M n,p ( K ) −→M p,n ( K ) , M = ( a i,j ) 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ p 7−→ t M = ( b i,j ) 1 ≤ i ≤ p, 1 ≤ j ≤ n ou´ b i,j = a j,i . Autrement dit, la i -e`melignede t M est la i -`emecolonnede M et la j -e`mecolonnede t M est la j -`emeligne de M .Ouencore,l’applicationtranspos´eee´changeleslignesetlescolonnesd’unematrice.
Soit λ ∈ K , M, N ∈ M n,p ( K ),de`squ’elleontunsens,onalese´galite´s: t ( M + N ) = t M + t N , t ( λM ) = λ ( t M ) , t ( M N ) = t N t M , t ( t M ) = M . 44 − 1 Exemple : t − 1522111 ! = 2512 . 1 1
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