Universite de Nice Sophia Antipolis L1 MP Algebre semestre
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Universite de Nice Sophia-Antipolis L1 - MP Algebre 11-12 semestre 1 1 Corps des nombres complexes 1.1 Le corps des nombres complexes Deux reels a et b definissent un nombre complexe note z = a + ib. Le reel a est appele la partie reelle de z, note a = Rez et le reel b est appele la partie imaginaire de z, note b = Imz. Pour tout a, a?, b, b?, on a : a+ ib = a? + ib? ?? a = a? et b = b? . L'ensemble des nombres complexes est note C. L'ensemble C des nombres complexes est muni de deux operations appelees addition et multiplication. Soit a, a?, b, b? quatre reels et z = a+ bi, z? = a? + b?i les nombres complexes correspondants. • L'addition de z et z? dans C est definie par : z + z? = (a+ a?) + (b+ b?)i , • La multiplication de z et z? dans C est definie par : zz? = (aa? ? bb?) + (ab? + ba?)i . a) Proprietes de l'addition de C : L'addition est associative, c'est a dire que pour tout z, z?, z?? ? C : (z + z?) + z?? = z + (z? + z??) .
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Universite de Nice Sophia-Antipolis L1 - MP Algebre 11-12 semestre 1 1 Corps des nombres complexes 1.1 Le corps des nombres complexes Deux reels a et b definissent un nombre complexe note z = a + ib. Le reel a est appele la partie reelle de z, note a = Rez et le reel b est appele la partie imaginaire de z, note b = Imz. Pour tout a, a?, b, b?, on a : a+ ib = a? + ib? ?? a = a? et b = b? . L'ensemble des nombres complexes est note C. L'ensemble C des nombres complexes est muni de deux operations appelees addition et multiplication. Soit a, a?, b, b? quatre reels et z = a+ bi, z? = a? + b?i les nombres complexes correspondants. • L'addition de z et z? dans C est definie par : z + z? = (a+ a?) + (b+ b?)i , • La multiplication de z et z? dans C est definie par : zz? = (aa? ? bb?) + (ab? + ba?)i . a) Proprietes de l'addition de C : L'addition est associative, c'est a dire que pour tout z, z?, z?? ? C : (z + z?) + z?? = z + (z? + z??) .
- ?? z
- proprietes de la conjugaison
- corps commutatif
- universite de nice - sophia-antipolis
Universit´edeNiceSophia-Antipolis 11-12
L1-MPAlg`ebre semestre 1
1 Corps des nombres complexes 1.1 Le corps des nombres complexes Deuxre´els a et b de´finissentunnombrecomplexenot´e z = a + ib .Ler´eel a estappel´elapartiere´ellede z , not´e a = Re z etler´eel b estappele´lapartieimaginairede z ,not´e b = Im z .
Pour tout a, a 0 , b, b 0 , on a : a + ib = a 0 + ib 0 ⇐⇒ a = a 0 et b = b 0 . L’ensembledesnombrescomplexesestnote´ C .
L’ensemble C desnombrescomplexesestmunidedeuxope´rationsappel´eesadditionetmultiplication. Soit a, a 0 , b, b 0 quatrere´elset z = a + bi, z 0 = a 0 + b 0 i les nombres complexes correspondants.
• L’addition de z et z 0 dans C estde´finiepar: z + z 0 ( a + a 0 ) + ( b + b 0 ) i , =
• La multiplication de z et z 0 dans C estd´efiniepar: zz 0 = ( aa 0 − bb 0 ) + ( ab 0 + ba 0 ) i .
a)Proprie´te´sdel’additiondeC:
L’additionestassociative,c’est`adirequepourtout z, z 0 , z 00 ∈ C : ( z + z 0 ) + z 00 = z + ( z 0 + z 00 ) .
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L’additionestcommutative,c’est`adirequepourtout z, z 0 ∈ C : z + z 0 = z 0 + z . Le complexe 0 + 0 i ,note´0,estappel´el’´ele´mentneutredel’addition.C’estleseulnombrecomplexev´erifiant pour tout z ∈ C : z + (0 + 0 i ) = (0 + 0 i ) + z = z . Toute´lement z ∈ C admetunsym´etrique z 0 ,not´e − z . C’est le seul nombre complexe verifiant : ´ z + z 0 = z 0 + z = 0 . Auvuedecesquatreproprie´te´s,onditque C estungroupecommutatifrelativement`al’addition.
b)Proprie´te´sdelamultiplicationdansC:
Lamultiplicationestassociative,c’esta`direquepourtout z, z 0 , z 00 ∈ C : ( zz 0 ) z 00 z ( z 0 z 00 ) . = Lamultiplicationestcommutative,c’esta`direquepourtout z, z 0 ∈ C : zz 0 z 0 z . = Lamultiplicationposse`deun´el´ementneutre1+0 i ,not´e1.C’estleseulnombrecomplexeve´rifiantpourtout z ∈ C : z (1 + 0 i ) = (1 + 0 i ) z = z . Toute´lement z ∈ C distinctde0admetunsyme´trique z 0 appele´inversede z ,not´e z − 1 ou1Cecomplexe . z z 0 estl’unique´el´ementde C v´erifiant: zz 0 z 0 z = 1 . =
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Auvuedetoutescesproprie´te´s,onditque C estuncorpscommutatifrelativementauxop´erationsaddition et multiplication.
Surlecorpsdesnombrescomplexes,onpeutdistinguerunetroisi`emeope´rationditedemultiplicationpar unre´el.Elleassocie`atoutr´eel λ et tout complexe z = a + bi le complexe : λz = λa + λbi . Notation 1.1.1 Soit a, b deux reels. Le complexe a + 0 i estnote´ a , 0 + bi estnot´e bi , 0 + 1 i estnot´e i . On ´ constateraquecesnotationssontcohe´rentes. Soit z, z 0 deux complexes, on pose : z + ( − z 0 ) = z − z 0 et si z 0 6 = 0 , z z 1 0 = zz 0 . Soit z = a + bi avec a et b re´els,l’oppose´de z est − z = ( − a ) + ( − b ) i = − a − bi .
Soit z = a + bi 6 = 0 avec a et b r´els, l’inverse de z est : e 1 a − b a − bi z = a 2 + b 2 ++ b 2 i = a 2 a 2 + b 2 .
Commelamultiplicationestcommutative,noterquepourtoutre´el a, b : a + bi = a + ib .
D´efinition1.1.2 Unnombrecomplexeestditr´eelsisapartieimaginaireestnulleetimaginairepursisa partier´eelleestnulle.
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L’application R → C , a 7→ a = a + 0 i identifielesnombresre´elsauxnombrescomplexesdepartieimagi-nairenulle.Cetteidentificationestcompatibleauxope´rationsadditionetmultiplication.
De´finition1.1.3 (Puissancen-ie`me)Soit z un nombre complexe, on convient que z 0 = 1 et que z 1 z = . Soit n unentiernaturelnonnul,onde´signepar z n = z.z . . . z = zz n − 1 le produit n fois de z parluimˆeme. Le complexe z n estappel´elapuissancen-i`emede z . On convient alors que z − n = z 1 n = 1 z n . Pour tout n, m entiers relatifs, on a alors : z n z m = z n + m , ( z n ) m = z nm . Exemple : i 0 = 1 , i 1 = i, i 2 = − 1 , i 3 = − i, i 4 = 1. Soit n un entier relatif, divisons n par 4 : n = 4k+r avec k, r entier relatif et 0 ≤ r ≤ 3. Alors : i n = i 4 k + r = i 4 k i r = ( i 4 ) k i r = i r . Soit z, z 0 deuxnombrescomplexes,ilr´esultedespropri´et´esdesnombrescomplexesque: zz 0 = 0 ⇐⇒ z = 0 ou z 0 = 0 . D´efinition1.1.4 On appelle conjugaison l’application : C → C : z = a + bi 7−→ z = a − bi , o ` u a, b ∈ R . Le nombre complexe z = a − bi estappel´eleconjugu´ede z . Propri´te´sdelaconjugaison: Soit z, z 0 ∈ C , λ ∈ R et n ∈ Z : e z + z 0 = z + z 0 , λz = λz , zz 0 = zz 0 , z n = z n , Re z =12( z + z ) , Im z =21 i ( z − z ) . 4
En particulier, on obtient :
z = z ⇐⇒ Im z = 0 , z = − z ⇐⇒ Re z = 0 .
Soit a, b deuxr´eelset z = a + bi , on a : zz = a 2 + b 2 quiestdoncunr´eelpositif.
De´finition1.1.5 Soit a, b deuxr´eelset z = a + bi . On appelle module de z et on note | z | lenombrere´el positif : | z | = √ a 2 + b 2 = √ zz .
On remarque que si z estre´el, | z | n’est autre que la valeur absolue de z . Remarques : Soit z ∈ C : | z | = | z | et | z | 2 = zz et si de plus z 6 = 0 : 1 = z = | zz | 2 . z zz Proprie´t´esdumoduled’unnombrecomplexe: Soit z, z 0 ∈ C , λ ∈ R et n ∈ Z :
| z | = 0 ⇐⇒ z = 0 , | z + z 0 |≤| z | + | z 0 | , | λz | = | λ || z | . On a aussi : 1 | zz 0 | = | z || z 0 | , | z n | = | z | n , | 1 z | = | z | pour z 6 = 0 , | | z | − | z 0 | |≤| z − z 0 | , | Re z |≤| z | , | Im z |≤| z | . Pour tout z complexenonnul,onv´erifieque | zz | est de module 1. Montrons par exemple la formule | zz 0 | = | z || z 0 | . Soit a, b, a 0 , b 0 r´eelstelsque z = a + bi et z 0 = a 0 + b 0 i : | zz 0 | = | ( aa 0 − bb 0 ) + ( ab 0 + ba 0 ) i | = q ( aa 0 − bb 0 ) 2 + ( ab 0 + ba 0 ) 2 = √ a 2 a 0 2 + b 2 b 0 2 − 2 aa 0 bb 0 + a 2 b 0 2 + b 2 a 0 2 + 2 aa 0 bb 0 = √ a 2 a 0 2 + b 2 b 0 2 + a 2 b 0 2 + b 2 a 0 2 = q a 2 ( a 0 2 + b 0 2 ) + b 2 ( a 0 2 + b 0 2 ) = q ( a 2 + b 2 )( a 0 2 + b 0 2 ) = q ( a 2 + b 2 ) q ( a 0 2 + b 0 2 ) = | z || z 0 | .
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´ 1.2Equationsduseconddegre´ Rappelons que si a estunnombrere´elpositif,ilexisteununiquer´eelpositifnote´ √ a dontlecarreest´egala` ´ a ,c’esta`diresolutiondel’´equation: x 2 = a et x ∈ R + .Ler´eel √ a estappele´laracinecarre´ede a . Ce re´sultatsed´eduitdespropriete´sdel’ensembledesnombresre´els. ´ Lemme 1.2.1 Pour tout Δ ∈ C , il existe δ ∈ C tel que δ 2 = Δ . On dit que δ estuneracinecarre´ede Δ . Puisque i 2 = − 1, il est clair que si b estunr´eelne´gatif, i √− b = i q | b | estuneracinecarre´ede b . Nous montrerons,voirlesexercicestype1.6,commentdonneruneexpresionalge´briquedesracinescarre´esd’un nombrecomplexeΔdonn´eeparsapartiere´elleetsapartieimaginaire. Soit Δ ∈ C non nul et δ estuneracinecarre´edeΔ.Le´quation: z 2 = Δ et z ∈ C admet alors deux solutions : δ et − δ .Onremarqueeneffetquecettee´quation´equivaut`a z 2 = δ 2 , soit z 2 − δ 2 =0,qui´equivautencore( z − δ )( z + δ ) = 0. Comme un produit de nombres complexes est nul si et seulementsil’undecesnombresestnul,lessolutionscherch´eessontbien δ et − δ . Soit maintenant a 6 = 0, b et c troisnombrescomplexes(ilspeuventdoncˆetrer´eels).Pourtout z ∈ C , observons que :
az 2 + bz + c = a [( z +2 ba ) 2 − b 2 4 − a 2 4 ac ] .
On obtient alors : Proposition 1.2.2 Soit a 6 = 0 , b et c trois nombres complexes. Soit δ ∈ C tel que δ 2 = b 2 − 4 ac . Posons : − b + δ − b − δ z z 1 =2 a et 2 =2 a.
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