Universite de Nice Sophia Antipolis Licence L3 Mathematiques Annee
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite de Nice Sophia-Antipolis Licence L3 Mathematiques Annee 2008/2009 Analyse Numerique Corrige du TD 5 EXERCICE 1 Methode des approximations successives, ordre de convergence Soient I un intervalle ferme de R, g : I ? I une fonction assez reguliere admettant un point fixe l ? I i.e. g(l) = l. On considere une suite des iteres suivante { x0 ? I donne , xn+1 = g(xn), ?n ≥ 0 . (1.1) a. Faire un dessin illustrant la construction de la suite (xn)n≥0. b. Calculer l'erreur en = xn? l et donner une condition pour que la methode du point fixe (1.1) soit d'ordre p ≥ 1. On a en+1 = xn+1 ? l = g(xn)? g(l) = (xn ? l) g ?(l) + ... + (xn ? l) p?1 (p? 1)! g(p?1)(l) + (xn ? l) p p! g(p)(cn) , (1.2) ou cn est un reel compris entre xn et l. On trouve que la methode des approximations successives converge a l'ordre p sous la condition : g(k)(l) = 0 ,? k = 1, ..., p? 1 , pour p > 1 , et g(p)(l) 6= 0 , pour p ≥ 1 , (
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Universite de Nice Sophia-Antipolis Licence L3 Mathematiques Annee 2008/2009 Analyse Numerique Corrige du TD 5 EXERCICE 1 Methode des approximations successives, ordre de convergence Soient I un intervalle ferme de R, g : I ? I une fonction assez reguliere admettant un point fixe l ? I i.e. g(l) = l. On considere une suite des iteres suivante { x0 ? I donne , xn+1 = g(xn), ?n ≥ 0 . (1.1) a. Faire un dessin illustrant la construction de la suite (xn)n≥0. b. Calculer l'erreur en = xn? l et donner une condition pour que la methode du point fixe (1.1) soit d'ordre p ≥ 1. On a en+1 = xn+1 ? l = g(xn)? g(l) = (xn ? l) g ?(l) + ... + (xn ? l) p?1 (p? 1)! g(p?1)(l) + (xn ? l) p p! g(p)(cn) , (1.2) ou cn est un reel compris entre xn et l. On trouve que la methode des approximations successives converge a l'ordre p sous la condition : g(k)(l) = 0 ,? k = 1, ..., p? 1 , pour p > 1 , et g(p)(l) 6= 0 , pour p ≥ 1 , (
- methode des approximations successives
- methode de newton
- ?xn ?
- theoreme du point fixe
- abscisse du point d'intersection de la tangente en xn
- illustrations graphiques des methodes iteratives
- ordre de convergence
Universit´edeNiceSophia-Antipolis LicenceL3Math´ematiques
Anne´e2008/2009
AnalyseNume´rique Corrige´duTD5
EXERCICE 1 Me´thodedesapproximationssuccessives,ordredeconvergence
SoientIinueerefedm´erntllvaR,g:I→Inotcnufeereuli`r´egsseziona admettant un point fixel∈Ii.e.g(l) =lsenuetiuisedre´t.coOnidnsre`e´es suivante ( x0∈Iodnne´, (1.1) xn+1=g(xn),∀n≥0. a. Faire un dessin illustrant la construction de la suite(xn)n≥0.
b. Calculer l’erreuren=xn−ltdeedlam´ethonpourqueocdntioinoenuren du point fixe(1.1)soit d’ordrep≥1.
On a
en+1=xn+1−l =g(xn)−g(l) p−1p (x−l) ) 0n(p−1)(xn−l(p) = (xn−l)g(l) +...+g(l) +g(cn), (p−1)!p!
(1.2)
ou`cnstunr´eelcomprisnerteexnetl. Ontrouvequelame´thodedesapproximationssuccessivesconverge`al’ordrepsous la condition : (k) g(l) = 0,∀k= 1, ..., p−1,pourp >1, et (1.3) (p) g(l)6= 0,pourp≥1, carsousleshypothe`ses(1.3)ona:
xn+1−l1 1 (p) (p) lim p= limg(cn) =g(l)6= 0. (xn−l)p!p! n→+∞n→+∞
00 up= 2. En posantM= sg(x) upI Cas o`x∈,onpeut´ecrire
2 M xn+1−l≤xn−l, 2
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