Universite de Rouen Master MFA Analyse des EDP
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
Universite de Rouen Master 1, MFA 2010–2011 Analyse des EDP Solutions classiques 1 a) Soit u et v deux fonctions reelles deux fois derivables sur Rn. Montrer que ∆(uv) = u∆ v + 2(?u,? v) + v∆u. b) Soit trois fonctions h : R? R, u : Rn ? R et v : Rp ? Rn regulieres. Montrer que ∆(u ? v) = n∑ i,j=1 ∂2u(v) ∂xi∂xj (? vi,? vj) + n∑ i=1 ∂u(v) ∂xi ∆ vi et ∆(h ? u) = h??(u)| ?u|2 + h?(u) ∆u. 2 a) Soit trois reels a, b et ?. i) En fonction des valeurs de ?, determiner les solutions eventuelles du probleme de Dirichlet ?u?? + ?u = 0 sur ]0, 1[ et u(0) = a, u(1) = b. Quand y a-t-il existence et unicite des solutions? ii) Meme question pour le probleme de Neumann ?u?? + ?u = 0 sur ]0, 1[ et u?(0) = a, u?(1) = b. b) On se donne maintenant f ? C([0, 1]).
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Universite de Rouen Master 1, MFA 2010–2011 Analyse des EDP Solutions classiques 1 a) Soit u et v deux fonctions reelles deux fois derivables sur Rn. Montrer que ∆(uv) = u∆ v + 2(?u,? v) + v∆u. b) Soit trois fonctions h : R? R, u : Rn ? R et v : Rp ? Rn regulieres. Montrer que ∆(u ? v) = n∑ i,j=1 ∂2u(v) ∂xi∂xj (? vi,? vj) + n∑ i=1 ∂u(v) ∂xi ∆ vi et ∆(h ? u) = h??(u)| ?u|2 + h?(u) ∆u. 2 a) Soit trois reels a, b et ?. i) En fonction des valeurs de ?, determiner les solutions eventuelles du probleme de Dirichlet ?u?? + ?u = 0 sur ]0, 1[ et u(0) = a, u(1) = b. Quand y a-t-il existence et unicite des solutions? ii) Meme question pour le probleme de Neumann ?u?? + ?u = 0 sur ]0, 1[ et u?(0) = a, u?(1) = b. b) On se donne maintenant f ? C([0, 1]).
- solutions classiques
- resultats classiques sur la resolution de systemes lineaires
- rn ?
- deuxieme identite de green sur ?
- solutions eventuelles du probleme de dirichlet
- formule de representation de green
NOM : PRENOM :
Date : Groupe :
Analyse:Feuilleder´eponsesduTP1 Approximationlin´eaire
. .
Onre´pondraauxquestionspose´esaussiclairementquepossibledanslesespacespre´vus etonremettracettefeuilledere´ponsesenfindeTPa`l’enseignantcharg´eduTP.
Rappel :nepeetontiund’roededitvuosesnOuaeq’´elqurandieaet passant par le point (x0, y0) esty=a(x−x0) +y0et donc celle d’une droite passant par les deux points (x0, y0) et (x1, y1) est x1−x0 y= (x−x0) +y0. y1−y0
1 11 Exercice 1.:isengourbed’Ante`alaclrtanaegClaucelf(x) =2au point (−1,.R)aetlrsenepe´r 1+x2 courbe et sa tangente (en vous servant de votre calculette graphique par exemple).
Exercice 2. horizontale.
3 2 :Trouver les points (x, f(x)) du graphe def(x) =x−x−xo`+1taluegnaeetnts
1 MariaGaetanaAgnesi,mathe´maticienneitalienne,1718-1799 (voir par exempleAgnesihttp ://fr.wikipedia.org/Maria Gaetana).
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Exercice 3.:Elsponquealedstni’debruocioatqu´enf(x) =x xrape`llatseelle-anetntgeadlitroele `aladroited’e´quation3x−ya`etnegnatalednotiuaeq’´rlneon?D6+0=fen ce point.
3 3 Exercice 4.:realclluaC´niliraeee´sL(x) def(x) =xenx0r1.=ˆMmeqeeutsoipnuof(x) =xen x0=−8.
Exercice 5.:saleerifimaxiroppre´Vntesuivacul´(callsniitnoersse´ianeesex= 0) : √ 1 1 1 +x'1 +x ,'1−x 2 1+x sinx'x ,cosx'1 x e'1 +x ,ln(1 +x)'x
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√ 3 Exercice 6.:uverTroilalae´n´siredeef(x) =1 +xenx= 0 et l’utiliser pour calculer une valeur 3 3 approch´eede0,195 et de,usniaet.1oCpmlculrecace.Fatriodsre´nnapsetovrerarecavsvleeual dessinpourrepre´senterl’erreurentrelavaleurapproch´eecalcul´eeetlavaleurexacte.
Exercice 7.:can¸lantncEmeomperaustix0= 2, calculer les deux approximations suivantesx1etx2 3 de la solution dex−2x−=05etboseunlrape´mathodedeNewton. 5 Mˆemeexercicepourx−10 = 0 avecx0= 1,5.
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Exercice 8.:snosid,eenicaralciraneru´errcanePuoucelcrladunombrea, les Babiloniens utilisaient l’algorithmesuivant:partird’unepremie`reapproximationx0ladeenoyumsapaa`sapreroile´ma’uisl,p 1a suitexn+1= (xnwtNe.onhoetdedeceva´malirogemhtrercetal).Compa+ 2xn
Exercice 9.:rmmcoEnltnac¸neapetiusax0= 0, calculer les approximations suivantes de la solution x dee−2xzeopvuelavsedsuov-zesnue?Qes´euvrosturenuesparlam´ethoededeNtwnoQ.euep=tbo0 vousdiredelasolutioncherche´e?
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