Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau Terminale
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La fonction exponentielle
Cours, Chapitre en Mathématiques (2012) pour Terminale ES
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Cours, Chapitre en Mathématiques (2012) pour Terminale ES
FONCTION EXPONENTIELLE (Bis)
Correction des exercices
p154 n° 19 a) On applique aux deux membres de l'inégalité la fonction ln , strictement −x+ 1 croissante, donc: ln(e)nl≥(1). X Or par définition de l'exponentielle, on a pour tout réel X, ln(e)=Xetln(1)= 0. Ainsi −x+ 1 ≥ 0⇔1 ≥x, doncS=]− ∞; 1] b)L'exponentielle étant une fonstion strictement positive, l'inégalité b) est toujours réalisée, doncS=ℝ. c) Même méthode qu'au a): c) x− 2 ⇔ln(e)≤nl(2)⇔x− 2 ≤ ln(2)⇔x≤ 2 + ln(2), doncS=]− ∞; 2 + ln(2)] x−+ 4 x+ 1 3 d)⇔ln(e)nl≥(e)⇔x−+ 4 ≥ x+ 1⇔2x≥ − 3⇔x, donc≥ − 2 3 S=[− ; + ∞[ 2
p154 n° 21 1 1 −x−x1 2 2 a)⇔4 ≥e⇔ln(4)nl≥e⇔ln(4)≥ −x⇔− 2ln(4)≤x, car on a 2 multiplié les deux membres de l'inégalité par -2 <0. DoncS=[− 2ln(4); + ∞[ − 0.03x+ 0.1 b)⇔ln(e)ln≥(1.5)⇔− 0.03x+ 0.1 ≥ ln(1.5)⇔− 0.03x≥ − 0.1 + ln(1. 0.1 − ln(1.5) doncS=]− ∞;] 0.03 − 0.01xln(0.05) c)⇔ln(e)< ln(0.05)⇔− 0.01x< ln(0.05)⇔x> −⇔x100×l> − 0.01 doncS=]− 100×ln(0.05); + ∞[ −x− 2+ 4 d)⇔ln(e)nl≤(10)⇔−x− 2ln+ 4 ≤ (10)⇔4 + 2ln(10)≥x, donc S=[4 + 2ln(10)∞; + [
p154 n° 22 2x x2 Remarquons tout d'abord quee=(e), d'après la dernière formule du §.I.5 (propriétés algébriques). x2 On poseX=e, donc X > 0.L'équation E(x) = 0 s'écrit alors 2X+ 9X− 5 = 0, 2 équation du second degré de discriminant Δ = 9 − 4×2×(− 5)= 81 + 40 = 121 > 0. − 9 − 11 − 20 E(x)=0 admet donc deux racines distinctesX= = 5 et= − 1 4 4
1
− 9 + 11 2 1 X= .= = 2 4 4 2 La solutionXest à exclure carX< 0. 1 1 1x1x1 DoncX=⇔e=⇔ln(e)= ln⇔x= − ln(2).D'oùS={− ln(2)}. 2 2 2 2 Factorisation:Le polynôme 2X+ 9X− 5 se factorise sous la forme 2 1 a(X−X)(X−X), d'où 2X+ 9X− 5 = 2(X+ 5)Xen remplaçant x− puis 1 2 2 x x x1 pare, il vientE(x)= 2(e+ 5)e− . 2 x Etude du signe: On étudie le signe de chaque facteur:ex, donc> 0 pour tout réel x e+ 5 > 0. x1 Pour étudier le signe deeon résoud− , 2 x1x1x1 e− > 0⇔e>⇔ln(e)>ln⇔xln> − (2). 2 2 2
x
x 2(e+ 5)
x1 e− 2
E(x)
− ∞
+
−
−
−ln(2)
O
O
+
+
+
+ ∞
p154 n° 24 x On poseX=e, donc X > 0. 2x x2x x a)e−e= 0⇔X−X= 0⇔X(X− 1)= 0⇔X= 0ouX= 1⇔e= 0oue car l'exponentielle étant une fonction strictement positive ne s'annule jamais. x x Ete= 1⇔ln(e)= ln(1)⇔x= 0, doncS={0} 2x2 2 e− 4 = 0⇔X= 0− 2 ⇔(X− 2)(X+ 2)= 0⇔X= 2ouX= − 2. X2 est à exclure car X doit être strictement positif.= − x x DoncX= 2⇔e= 2⇔ln(e)= ln(2)⇔x= ln(2), d'oùS={ln(2)} x22 2 2 (e)= 4⇔X= 4⇔X− 2 = 0, résolue précédemment.
2
DoncS={ln(2)} b) 3x x−x3x x−x−x+ 3x−x+x2x0 e− 2e= 0⇔e(e− 2e)=e×0 = 0⇔e− 2e= 0⇔e− 2e 2 ⇔X− 2 = 0⇔(X−√2)(X+√2)= 0⇔X=√2ouX= −√2.La solution X= −√2 est à exclure car stictement négative. Donc x x11 X=√2⇔e=√2⇔ln(e)= ln(√2)⇔x= ln(2), doncS={ln(2)} 22 x2x2 2e−e= 0⇔2X−X= 0⇔X(2 −X)= 0⇔X= 0ouX= 2. La solutionX=Oest à exclure, donc x x X= 2⇔e= 2⇔ln(e)= ln(2)⇔x= ln(2)DoncS={ln(2)}
p154 n° 25 x x x x x x2xx x 2x (e− 7)(2e+ 4)=e×2e+ 4e− 7×2e− 7×4 = 2e+ 4e− 14e− 28 = 2e− 1 2x x x2 On poseE(x)= 2e− 10e− 28.AvecX=e, on résoud 2X− 10X− 28 = 0, qui 2 a pour discriminant Δ =(− 10)− 4×2×(− 28)= 100 + 224 = 324 et deux racines 10 − 18 8 10 + 18 distinctesX= = = − 2 etX7.= = 1 2 4 4 4 x x x DoncE(X)= 2(X+ 2)(X− 7)etE(x)= 2(e+ 2)(e− 7).Pour tout réel x,e> 0, x donce+ 2 > 0. x Pour étudier le signe de(e− 7), on résoud x x x e− 7 > 0⇔e> 7⇔ln(e)> ln(7)⇔x> ln(7), d'où le tableau de signes:
x
x 2(e+ 2)
x (e− 7)
E(x)
p154 n°26
− ∞
+
−
−
ln(7)
O
O
+
+
+
+ ∞
1. On résoud P(X) = 0 , trinôme du second degré de discriminant 2 Δ = 9 − 4×2×(− 5)+ 40 = 121 > 0 et admet donc deux racines= 81
3
− 9 − 11 − 20 − 9 + 11 2 1 distinctesX5 et= − = = X= .= = 1 2 4 4 4 4 2 1 DoncP(X)= 2(X+ 5)X− =(X+ 5)(2X− 1) 2 x x 2. Pour tout réel x,e> 0, donce+ 5 > 0. x Pour étudier les signe de 2e− 1 on résoud x x1x1 2e− 1 > 0⇔e>⇔ln(e)> ln⇔xln> − (2) 2 2 x x 3. On veut résoudreP(e)> 0.On réalise le tableau de signes deP(e).C'est le même que celui de l'exercice 22 doncS=]− ln(2); + ∞[
II. Constuction de la courbe repésentative de la fonction exponentielle
.1 Continuité et dérivabilité
Théorème .1.
La fonction exponentielle est continue et dérivable surℝ.Pour tout réel x x, on a(exp)'(x)= exp(x)=e
Démonstration. Soit g la fonction définie parg= lnoexp On admet que g est continue et dérivable surℝ. Déterminons l'ensemble de définition de la fonction g: On sait queln(X)existe ssiX> 0.Or la fonction exponentielle étant strictement positive, la fonction g est donc définie pour tout réel x, doncD=ℝ. g D'autre part g est la composée de la fonction exponentielle dérivable surℝà valeurs dans]∞0; + [ et de la fonction logarithme népérien dérivable sur]0; + ∞[.Donc par composée, g est dérivable sur ℝet pour tout réel x, on a: g'(x)= ln '(exp(x))×exp '(x).(thm de dérivation d'une fonction composée). 11 Orln '(X)=pour toutX> 0, doncg'(x)'= ×exp (x). X exp(x) Et par définition deexp(x), l'expression algébrique de g se simplifie sous la formeg(x)= ln(exp(x))=x et par suiteg'(x)= 1. 1 En remplaçant dans l'égalité en bleu, il vient:×exp '1 = (x), d'où en multipliant les deux membres exp(x) de l'égalité parexp(x), exp(x)= exp '(x). x On a donc bien démontré que(exp)'(x)= exp(x)=e Autrement dit, la dérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle!
.2 Sens de variation
Proposition .1.
4
.
La fonction exponentielle est une fonction strictement croissante surℝ
Démonstration. On vient de voir que pour tout réel x,(exp)'(x)= exp(x), avecexp(x)> 0pour tout réel x.Donc (exp)'(x)> 0, pour tout réel x, ce qui signifie queexpest strictement croissante surℝ
.3 Limites
Théorème .2.
lim exp(x)= x→ + ∞
Démonstration.
+ ∞etlim exp(x)= 0 x→ − ∞
On sait que la courbe représentative de la fonction logarithme népérien est en-desous de chacune de ses tangentes, et en particulier de sa tangente au point d'abscisse A(1.0). (Rappel:ln(1)= 0) Déterminons l'équation de cette tangente: 1 elle est de la formey=a(x−x)+yaveca= ln '(1)1= = .Doncy=x− 1 A A 1 Ainsi pour tout réelx> 0,ln(x)≤x− 1 <xet on peut écrire x sous la forme x x= ln(e).L'inégalité devient alors: x x pour tout réelx> 0,ln(x)< ln(e), ce qui est équivalent àx<e.Orlimx= + ∞, donx x→ +∞ d'après le théorème de comparaison:lim exp(x)= + ∞ x→ +∞ x−(−x)1 Pour tout réel x,e=e=. exp(−x) (−x) lim(−x)= + ∞etlim exp(x)∞= + ,donclime∞= + d'après le thm sur la limite x→ −∞X→ +∞x→ −∞ d'une fonction comosée. 1 lim exp(x)= lim = = 0 exp(−x) x→ −∞x→ −∞
Exercices résolus C et D p145: à savoir refaire
.4 Tableau des variations
5
x
exp '(x)
exp(x)
− ∞
−∞
+
1
+
1
e
+
.5 Courbe représentative (à savoir refaire)
+ ∞
+ ∞
lim exp(x)= 0, donc la droite d'équationy= 0 c'est à dire l'axe des x→ − ∞ abscisses est asymptote horizontale à la courbe de la fonction exponentielle lorsuqe x tend vers − ∞. Equation de la tangente àCau point A(0;1) exp Elle est de la formey=a(x−x)+y, aveca'= exp (0)= exp(0)= 1.Donc A A y=x+ 1 Equation de la tangente àCau point B(1;e) exp Elle est de la formey=b(x−x)+y, avecb= exp '(1)= exp(1)=e.Donc B B y=e(x− 1)+ey=ex
6
C ex p
y=x+ 1
Remarque.
A
B
y=ex
La courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonction logarithme népérien sont symétrisques par rapport à la droite d'équation y=x, appelée première bissetrice du repère.
7
