Sujets Bac de Mathématiques de niveau Terminale
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Avec correction. Sujet et correction bac-stl-ph-2010
Sujets Bac en Mathématiques (2010) pour Terminale STL
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Sujets Bac en Mathématiques (2010) pour Terminale STL
BAC STL PH SESSION 2010 Exercice1s:p4ntoi Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal(O;u,v). L’unité graphique est égale à 1 cm. 2 1. Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation :z%4z#16= 0. 2. On considère les points du planAetBd’affixe respectives : 1 % # zA2 2i3etzB12 2i3. Déterminer le module et un argument de chacun de ces nombres. 1 % % 3.Soit le point C d’affixezC22 3 i a. Démontrer que A, B et C appartiennent `a un même cercleCdont on déterminera le centre et le rayon. b. Construire le cercleCet les points A, B et C.(On laissera apparaître les traits de construction). 14 4. Soit le point D d’affixezDi.Montrer que point D a pour image le point C par la rotation de centre O 2p et d’angle 3 5. Montrer que le point E , image du point A par la translation de vecteurOB, appartient Au cercleC. Placer le point E sur le graphique. Exercice 2.5 points Dans cet exercice toutes les probabilités sont données sous forme de fraction. Une urne contient des boules de couleur numérotées . ●Une boule blanche numérotée1 , que l’on noteB1; R R ● Deux boules rouges numérotées 2 et 3 , que l’on note2et3; V V V ● trois boules vertes numérotées 1 ; 2 et 3 , que l’on note1,2et3. Les boules sont indiscernables au toucher. 1. On extrait une boule de l’urne , puis une deuxième, sans avoir remis dans l’urne. On appelle résultat un couple dont le premier élément est la boule obtenue au premier tirage , et le second celle obtenue au second tirage. (2V3!st Par exempleRun résultat ; il signifie que la première boule est rouge numérotée 2; e et que la deuxième boule est verte numérotée 3. Pour répondre aux questions posées on peut s’aider d’un arbre ou d’un tableau. a. Déterminer le nombre de résultats possibles. b. On admet que tous les tirages sont équiprobables. Calculer la probabilité de chacun des événements Suivants : A : « Les deux boules sont de la même couleur. » B : « le produit des numéros inscrits sur les boules est 6. » C : « Il y a au moins une boule blanche . » 2. Un jeu consiste à tirer 2 boules de l’urne , selon la méthode décrite dans la question 1. On noteXla variable aléatoire qui associe , à chaque résultat, produit des numéros inscrits sur les deux boules . (B;V! Exemple : on associe au tirage1 2le nombre 2 car 1´212 . a. Donner toutes les valeurs que peut prendre la variable aléatoireX. 1 b. Montrer que la probabilité que la variable aléatoireXprenne la valeur 9 est égale à 15 c. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoireXsous forme de tableau. d. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoireX.
Problème 11 points Partie A 2 g Soit la fonction définie sur l’intervalle ]0;#¥[ parg(x)1x#3%2 ln(x!et dont la représentation g graphique est donnée ci-après. Soitg'la fonction dérivée de la fonction 1. A l’aide du tableau de signes de la fonctiong']0;sur l’intervalle #¥[ , indiquer les variations de la g#¥ La fonction sur l’intervalle ]0; [ . x 0 1#¥ g'(x+) 0
3.Calculergen déduire le signe de(1) puis g(xl’intervalle ]0;) sur #¥[ . Partie B 1 1 ln(x) Soitfla fonction définie sur l’intervalle ]0;#¥[ , parf(x)1x#1% #2 2x x On noteCla courbe représentative de la fonctionfdans le plan muni d’un repère orthonormal ( ! (O;i,j) . 1. a . Etudier la limite defen 0 .Interpréter graphiquement le résultat . b. Etudier la limite defen#¥x 2. a. Montrer que pour tout nombre réel de l’intervalle ]0;#¥[ la fonction dérivée def' g(x) de la fonctionfdéfinie par :f'(x)1 2 2x En déduire le signe def'(x) pourxif. tout nombre strictement posit b. Dresser le tableau de variations de la fonctionfsur l’intervalle ]0;#¥[ . a 3. a. Montrer que l’équationf(x)10 admet sur l’intervalle ]0;#¥.solution unique notée [ . Une a b. Donner , en justifiant un encadrement d’amplitude 0,01 du nombre réel . 4. Déterminer une équation de la droite T tangente à la courbeCau point d’abscisse 1. ( ! 1 5. SoitDla droite d’équationy1x#1 . 2 a. Montrer que la droiteDest asymptote oblique à la courbeCen#¥. ( ! 1/ 2 b. Démontrer que la droiteDcoupe la courbeCen un point B d’abscissee. ( ! ( !¥ c. Etudier les positions relatives de la courbeCet de la droiteDsur l’intervalle ]0;#[ . 6. Tracer dans le repère (O;i,junité graphique 2 cm, les droites T etprenant comme ) en D, ainsi la courbeC. ( ! Partie C 1. Hachurer sur le graphique la partie E du plan délimitée parla courbeC, l’axe des abscisses ( ! 1/ 2 x e et les droites d’équations respectivesx1eet . 12 2. a. Montrer que la fonction H définie parH(x)1(lnx!est une primitive de la fonctionhdéfinie sur 2 lnx l’intervalle ]0;#¥[ parh(x)1. x #¥ b. En déduire une primitiveFde la fonctionfsur l’intervalle ]0; [ . c. Montrer que la valeur exacte de l’aire A de la partie du plan hachurée E est, en unité d’aire, 2 1/ 2 2e#6e%8e#1 A1. 8 %2 En déduire une valeur arrondie à 10 de l’aire A.
CORRECTION Exercice 1 : (4 points) 2 2 2 1.z%4z#1610.D 1b%4ac1(%4!%4 1´1´6 116 6%4148%;D 1i4814i Donc l’équation admet deux racines complexes conjuguées : 4%4i34#4i3 z1 12%2i3 etz1z1 12#2i3 12 1 22 2 2 z2. Module et un argument deA:z12%2i3:z12# %2 314#121 A( ! A
3
1614
1 1 14 z1z12#2i3etzBzAzA B A æ ö 1 3p p æ æ ö æ öö%ip/ 3 z12%2i314%i14 cos%isin14e Aç ç ¸ ç ¸¸ ç ¸ 2 2 3 3 è è ø è ø ø è ø p arg 2 DoncqA1zA1 % #kp aveckÎZ 3 Module et un argument dezB:z12#2i3 B p q%1 1 g1 #2kp On remarque quez1z, donczB1z1z14etBargzAarzA A A B A 3 2 2 3.a. Soit le point C d’affixe2 Cz(# % 1 # z1 %3%2i.C1 %2 3!(2!12 411614 41z1OBz1OC DonczA1zB1zC1.Orz OA,BetC A Donc OA = OB = OC = 4 et par conséquent les points A, B, C appartiennent au cercle C de centre O et de rayon 4.
b.Pour la construction de A et B : On construit le cercle C de centre O et de rayon 4.On construit la droite verticale d’équationx12. Les points A et B ayant pour abscisses 2, appartiennent donc à cette droite et également au cercle C. Les points A et B seront donc les points d’intersection entre cette droite et le cercle. Le point A sera celui d’ordonnée négative et B celui d’ordonnée positive. Pour construire le point C : On construit la droite horizontale d’équationy1 %2. Le point C ayant pour ordonnée – 2, appartient donc à cette droite et également au cercle C. Le point C sera donc le point d’intersection d’abscisse négative entre cette droite et le cercle.
z1i 4.Soit le point D d’affixeD4 . 2p Soit D’ l’image de D par la rotation de centre O et d’angle . 3 æ ö 2ip/ 31 32 Donc L’ai ie i 3 2 3 2 ffixezD1zD´ 141 %% # 2%2i%1 % iCz1 ' ç ¸ 2 2 è ø Donc D’ et C sont confondus, donc le point D a pour image le point C par la rotation de 2p centre O et d’angle. 3 5.Le point E est l’image du point A par la translation de vecteurOBdoncAE1OB. L’affixe du vecteurOBest :z12#2i3est :. L’affixe du vecteur BAE z1z1OE14 z%z1zÞz1z#z12%2i3#2#2i314doncE4etE E A B E A B Et par conséquent le point E appartient au cercle C.
Exercice 2 : (5 points)
1. Tableau traduisant la situation :
1ère boule
B 1
R 2
R 3
V 1
V 2
V 3
2ième boule B BRBVB V BV 1(1;2) (1;R) (B1;1) (1;2) (1;3) 2 BR R R V RVRV R(R;1) (2;3) (2;1) (2;2) (2;3) 2 2 RBRR V R R VRV 3(R3 ;1) (3;2) (3;1) (3;2) (3;3) V VBR V V R VVVV 1(1;1) (1;2) (3;1) (1;2) (1;3) V V B VRVRVVVV 2(2;1) (2;2) (2;3) (2;1) (2;3) V VBVRVRVVVV 3(3;1) (3;2) (3;3) (3;1) (3;2) a. Le nombre de résultats possibles est6´5130 b. A : « Les deux boules sont de la même couleur. ». L’événement A correspond à : R R R R VVVVVVVV VVV A={(2;3)/ (3;2)/ (1;2) / (1;3)/ (2;1)/ (2;3)/ (3;1)/ (3;V2)} 8 4 Doncp(A)1 1 30 15 B : « Le produit des numéros inscrits sur les boules est 6. » R R R R RVRV VV VV L’événement B correspond à : B={(2;3)/ (3;2)/ (2;3() / 3;2)/ (2;3) / (3;2)}. 6 1 Doncp(B)1 1 10, 2 30 5 C : « Il y a au moins une boule blanche. » . L’événement C correspond à : BRBRBVB V BVRBRBVB V C ={ (1;2)/ (1;2)/ (1;1) / (1;2)/ (1;3)/ (2;1)/ (3;1)/ (1;1)/ (2;B1)/ 10 1 VBp(C)1 1 (3;1) }. Donc 30 3 1{ } 2. a. Les valeurs que peut prendre la variable aléatoireXsont :X1; 2;3; 4; 6;9. 2 1 (X19!RV VR b. correspond au cas : (3;3) et (3;3). Doncp(X19!1 1. 30 15 2 1 ( !BV VBp X111 1 c.X11correspond au cas : (1;1)/ (1;1) , donc( ! 30 15 (X12!BR RVB B V R R V VBV V correspond au cas : (1;2)/ (2;1)/ (1;2) / (2;1)/ (1;2) / (1;2) /(2;1) / 8 4 ;2.p X11 1 (V1V)(2! 30 15 (X13!BV VB BVR V VVV VB correspond au cas : (1;3) / (3;1)/ (R3 ;1) / (3;1) / (1;3) / (1;3)/(3;1)/ 8 4 V (3;V1) .p(X13!1 1 30 15 2 1 1!VR RV( ! (X4correspond au cas : (2;2) / (2;2).p X141 1 30 15 cR RVRVR RVRVRVV (X16!orrespond au cas : (R2;3)/ (3;2)/(2;3) /(3;2) / (3;2)/ (2;3) /(2;3) / 8 4 VV11 1 (3;2).p(X6! 30 15 2 1 (X19!RV V(9! correspond au cas : (3;3) et (3;R3).p X1 1 1 30 15 Loi de probabilité de la variable aléatoireX: X1x1 2 3 4 6 9 i 14 4 1 4 1 P(X1x! i 15 15 15 15 15 15 d. Espérance mathématique de la variable aléatoire X :
1 4 4 1 4 1 58 E X11´ #2´ #3´ #4´ #6´ #9´ 1 »3,87. ( ! 15 15 15 15 15 15 15 PROBLÈME : (11 POINTS) Partie A . 2 2 22x%x%(x#1! (x%1! 2 2 1 1.g(x)1x#3%2 ln(x!.g'(x)12x% 1 1212 x x x x (x#1! (x%1! (x#1! 2. sur l’intervalle Ig'(x)10Û2Ûx%110Ûx1puisque 21 , 2l’intervalle I.0 sur x x x 0 1#¥g'(x) 0 +
g(x) 4 (1 # 2# 1 % 1 g1!1 3 2 ln1 1 3 4 0.Donc la fonction g admet un minimum strictement positif égal à x 4 atteint enx1strictement positif, par conséquent1 , on en déduit alors que pour tout nombre réel g(x)est strictement positif Partie B 1 1 ln(x)æln(1 1 x)ö æ1æö%1#2 lnx 1 # # # 1 # # 1.a.f(x)1x#1# #.limf(x) limçx1¸limçx1¸limç. 2 2x xè2 2x xø è2ø è2x x|0|x0|x0|x0 æ1öæ2 ln(x)%1ö æ1ö limf(x)1 %¥ limx#111lim1lim(2 ln(x)%1!´lim1(%¥!´(#¥!1 % ç ¸;ç ¸ç ¸ , donc . x|0 è2øèxø èxø x|0x|0|x0|x0 (C! En déduit que la droite d’équationx10au voisinage de 0.est asymptote à la courbe æ1 1 ln(x)ö æ1ö æ1ölæn(x) 1.b. limf(x)1limx#1# # 1limx#1%lim#lim . ç ¸ ç ¸ ç ¸ ç ¸ x|#¥ |#xè2 2x xøxè2øxè2xøxèxø ¥ |#¥ |#¥ |#¥ æ1ö æ1ö æln(x)ö limf(x)1 #¥ limx#11 #¥; lim10 et lim10 (voir formulaire) , donc ç ¸ ç ¸ ç ¸ x|#¥ x|#¥x|#¥x|#¥ è2ø èxø èxø 2 1(1/x!´x%1´(lnx%1!1 1%lnx x#4 2%ln(x!g(x) 2.a&b.f'(x)1 # 1 11 # 2 2 2 2 2x2x2x2x x 1#¥0 f'(x) + #¥ f(x) 1
3. a. Sur]0;#¥[, la fonctionfest dérivable et strictement croissante surR. limf(x)1 #¥limf(x)1 %¥ et .Or0ÎR, donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires x|#¥x|0 a l’équationf(x)10admet sur l’intervalle]0;#¥[une solution unique notée . b. A l’aide de la calculatrice :f(0, 67)» %0, 0100etf(0, 68)»0, 0420 Doncf(0, 67)000f(0, 68) etf(0, 67)0f(a)0f(0, 68) Donc0, 670a00, 68carfest strictement croissante sur]0;#¥[ a réelest :0, 670a00, 68 Un encadrement d’amplitude 0,01 du nombre . % # 4. Equation de la droite T tangente à la courbe C au point d’abscisse 1 :y1f'(1)(x1)f(1)1#3%2 ln1 f'(x)1 12 etf(1)11, donc on a :y12(x%1)#112x%1 2
