Cours Physique - Série S: Oscillations libres du circuit RLC série

Nº : 36006

Plan de la fiche

1. Définitions
2. Règles
3. Méthodologie

I - Définitions

Fiche Cours

PHYSIQUE

Fiche 6 : Oscillations libres du circuit RLC série

Série S

• CircuitRLCsérie :circuit constitué de l’association en série d’une bobine (d’inductanceLet de résistancercondensateur), d’un
(de capacitéC) et d’un conducteur ohmique (de résistanceR).

• Régime libre d’un circuitRLCsérie :régime pour lequel le circuit ne subit aucun apport d’énergie après l’instant initial. Cette
situation correspond à la décharge d’un condensateur dans un dipôleRL.

• Régime pseudo-périodique d’un circuitRLCsérie :régime pour lequel la tensionuaux bornes du condensateur présente
C
des oscillations amorties (oscillations dont l’amplitude décroît au cours du temps).

• Amplitude d’une grandeur :valeur absolue de la grandeur concernée.

• Régime apériodique d’un circuitRLCsérie :régime pour lequel la tensionuaux bornes du condensateur ne présente
C
pas d’oscillations et tend vers la valeur nulle. Le régime apériodique critique correspond à la situation où la tensionutend le
C
plus rapidement vers la valeur nulle.

• Pseudo période :intervalle de temps entre deux maxima (ou deux minima) successifs d’un régime pseudo-périodique.

• Régime périodique d’un circuitLC:régime pour lequel les grandeurs électriques suivent des oscillations sinusoïdales,de
périodeTappelée période propre du circuitLC. LecircuitLCest un circuit idéal où la valeur de la résistance totale du circuit
0
est nulle :R =r + R = 0.
TOTALE
1 / 2
• Période propre d’un circuitLC:T=2π ×(L×C).
0

II - Règle

Propriétés
• Propriété n°1
Dans le régime libre,l’équation différentielle de la tensionuaux bornes du condensateur s’établit de la manière suivante :
C
u+u+u=0(application de la loi d’additivité des tensions) avec :uR=R i;u=r i+[L×(di / dt)];u=q / C.
R L CL C
Compte tenu que :i = dq / dt, onen déduit :i=C×(du /d t)qui conduit à :. Ce
C
[×(du /d t)]+[r C×(du /d t)]+[LC×(d ut/ d)]+u=0.
2 2
R CC CC C
2 2
Soit :(d uCt/ d)+{[(R+r)/ L]×(duCt/ d)}[uC/(LC)]0.
+ =
Le terme{[(R+r)/ L]×(duCt/ d)}est le terme d’amortissement.
Suivant la valeur de(R + r), onobserve :
- un régime périodique siR + r = 0;
- un régime pseudo-périodique siR + r ≥ 0;
- un régime apériodique siR + r > 0.

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Série S

• Propriété n°2
2 2
Dans le régime périodique (circuitLC), l’équationdifférentielle deuCs’écrit :(d uC/ dt)+[uC/(LC)]=0
Compte tenu queq = C uétablit l’équation différentielle de, onq:
C
2 22
[(1 / C)×(d q/ dt)]+[q /(LC)]=0.
2 2
Soit :(t/ dd q)+[q /(LC)]=0
La solution générale de ces équations différentielles correspond à la situation où la fonction est égale à sa dérivée seconde.La
fonction cosinus présente cette propriété.
Donc :u (t)= A cos {[(2π × t) /T] + φ}
C 0
etq(t) = B cos {[(2π × t) /T] + φ
0
Aest l’amplitude des oscillations deu.
C
Best l’amplitude des oscillations deq.
[(2π × t ) /T] + φest la phase des oscillations deuetq.
0 C
A,Betφsont des constantes qui sont déterminées à partir des conditions du circuit.
Les grandeursuetqsont continues, ce qui impose les conditions initiales du circuitLC:
C
u (0)=Uetq(0) = C u
C 00
Avant la fermeture, l’intensité dans le circuit est nulle. La présence d’une bobine garantit la continuité de l’intensité :i(0) = 0
i(t) = C ( du/ dt) = - (2π A /T) sin {([ 2π × t) /T] + φ }.
C 00
Or :i(0) = - 2 π A /Tsin φ = 0qui conduit à, ceφ = 0ouφ = π.
0
u (0)= A cos φ =Uconduisant àφ = 0.
C0
Soit :
u (t)=Ucos [(2π × t) /T ]
C 00
q(t) =CUcos [(2π × t) /T ]
0 0
i(t) = - (2π /T) ×U× sin [(2π × t) /T ]
000
1 / 2
=−U×(C / L)× sin [(2π × t) /T0]
0
Lorsqueu (t)est nulle,i(t)est maximale (ou minimale). Inversement, lorsqueu (t)est maximale (ou minimale),i(t)est nulle.
C C

• Propriété n°3
Dans un circuitLC, lebilan énergétique traduit des allers-retours d’énergie entre le condensateur et la bobine :
2 2
2
E= (1 / 2) ×C u= (1 / 2) ×C U×cos[(2π × t) /T ]
C0C 0
2 2
2 22 2
EL=(21 /)×L i=(21 /)×(LC)×4π/ T0×U0×sin[(2π ×t)/ T0].
1 / 22
2
Or :T0=(LC)qui conduit à :. Ce(LC×4π)/ T0=1.
L’énergie totale est :
2
2 2
E=E+EL=(21 /)×C U0×{cos[(2π ×t)/ T]}+{sin[(2π ×t)/ T0]}.
C 0
2
Soit :E = (1 / 2) ×C U
0
Il y a un transfert périodique d’énergie entre le condensateur et la bobine. L’énergie totale emmagasinée dans le circuit reste
constante.

• Propriété n°4
Dans le régime pseudo-périodique,les oscillations présentent des amplitudes décroissantes.
La pseudo-période dépend des valeurs der,LetCmais ne dépend pas des conditions initiales.
Pour des régimes pseudo-périodiques peu amortis,les pseudo-périodes sont quasi identiques.
L’équation différentielle traduisant l’évolution deus’écrit :
C
2 2
(d u/ dt)+[(R+r)/ L]×(duC/ dt)+[uC/(LC)]=0.
C
Compte tenu quei = C ×(duC/ dt)tuC= (
eq / C),
2 2
on en déduit :di / dt = C ×(d uC/ dt)
L’équation différentielle s’écrit alors :
[(1 / C) × (di / dt)] + {[(R + r) / LC] × i} + (q / L) = 0
Soit :[L × (di / dt)] + [(R + r)] i + (q / C) = 0
En multipliant les deux membres pari, onobtient :
2
[L × i × (di / dt)] + {[(R + r)] ×i} + [(q / C) × (dq / dt)] = 0
Soit :{L × [d / dt(i /2)]} + {[(R + r)] ×i} + {(1 / C) × [d / dt(Cq /)]} = 0
2 22

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PHYSIQUE

Série S

2
i
D’où :} + {d / dt [L{[(R+ r)] ×i +(q /2 C)]} = 0
2 2
2
Or :EL=(21 /)×LietEC=(1 /2)×(q /C)
2
2
Soit :(R + r) ×(dE / dt) = 0i +
Ce qui conduit à(dE / dt) < 0partie de l’énergie emmagasinée par le condensateur et la bobine est dissipée dans la résistance: une
(R + r)par effet Joule.

• Propriété n°5
Pour compenser les pertes énergétiques du dipôleRLCenvisage de lui associer un dipôlesérie, onDqui lui restitue à chaque
instant l’énergie qu’il perd.
Le dipôleDde même valeur absolue quese comporte comme une résistance négative,(R + r)et telle que :
u =- (R + r) i.
D

III - Méthodologie

1 / 2
• La période propre du circuitLCest :T=2π ×(L×C)
0
Ce résultat peut se retrouver à partir de l’équation différentielle traduisant l’évolution deu:
C
2 2
(d ut/ d)+[uC/(LC)]=0.
C
Sachant queuC=U0cos[(2π ×t)/ T]obtient :, on
0
2
−U0×(2π/ T0)×cos[(2π ×t)/ T0]+{(U0/ LC)×cos[(2π ×t)/ T0]}0.
=
2
D’où :−U×(2π/ T)×cos[(2π ×t)/ T]= −[U /(LC)]cos[(2π ×t)/ T].
0 00 00
1 / 2
Soit par identification :T0=2π ×(L×C)

• La période propre du circuitLCest homogène à un temps
En effet,l’analyse dimensionnelle conduit à :[LC] = [L] × [C]
Or :u= L × (di / dt)conduit à :[L] = {[U] × T} / I
L
et(q / uC)à :[C] = {I × T
C=conduit} / [U]
1 / 2
Soit :[LC]=T: homogèneà un temps.

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