Géométrie dans l'espace (spécialité) Activité 2
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1ere ES
ABCDEFGH I EH J BF K
BC L DH O
−−−−→ −−−−→ −−−−→
(D, DA, DC , DH )
I J K L
IJKL
O IJKL
IJKL
ˆJOK JOK
SABCD ABCD M
[SA] N [SB] (MN) (AB)
S
M D
N
A C
B
−−−−→ −−−−→ −−−−→ −−−−→ −−−−→ −−−−→ −−−−→ −−−−→
AB CD AB MN MN CB MN CD
→ →2 1 4u ( , ,−1) v (− ,−1,2)
3 2 3
→ →3 4u ( ,2,−3) v (1, ,−2)
2 3
→ →2 2 3u ( ,− ,−2) v (−1, ,1)
3 5 5
→ →
u (2,3,−1) v (−1,1,1)
→ →
u v(−2,−4,3) (3,−3,−2)
→ →
u v(2,7,−1) (−6,1,5)
,
et
[
et
t
t
son
t
ecteurs
v
v
Un
deux
est
les
es,
si
1.
orthogonaux.
le
son
de
et
e
dans
Dire
vb
2.
et
pb
des
parall?les.
v
t
rep
son
et
t
et
?
de
t
est
appartien
6.
,
?
t
3.
appartien
3.
.
parall?logramme.
et
trer
et
le
oin
base
our
du
p
a
4.
les
orthonorm?
3
dans
On
Nous
se
tre
place
℄
dans
5.
un
[
rep
℄
?re
℄
orthonorm?
de
milieu
R?p
t
ondre
v
par
est
vrai
dans
ou
et
faux
G?om?trie
en
?cialit?
justian
son
t.
1.
Les
Les
ecteurs
v
un
ecteurs
que
yramide
D?mon
p
.
La
,
2
ts
et
?
des
triangle
et
le
our
sommets
p
ordonn?es
d?duire
son
Qu'en
et
Les
.
ecteurs
l'angle
Calculer
de
.
mesure
?re
la
le
Calculer
pla?ons
5.
nous
e.
un
du
est
que
est
trer
son
son
orthogonaux.
t
Les
ecteurs
2.
de
Les
et
v
[
ecteurs
d?mon
[
our
et
p
℄
des
de
m?tho
le
trois
1.
er
de
rouv
son
T
orthogonaux.
4.
Les
.
ecteurs
et
un
de
e
tre
un
le
1
t
?galemen
dans
est
2
que
A
trer
Sp
D?mon
t
haque
1
→ →
u (2,−3,m) v (n,1,−1)
m n
→ →
u vm n
→ →
u v
→ →
m n u v
→ →
u vm n
→ → →
u (1,−1,0) v (2,3,5) w (1,4,5)
→ → →
u v w(2,−1,3) (1,2,−2) (4,3,−1)
→ → →
u v w(1,−1,2) (2,1,1) (1,−2,3)
→ → →
u (2,5,−1) v (−4,10,2) w (4,−4,−2)
A()2,1,5 B(4,0,6) C(3,0,7)
D(1,0,9)
A B C D
ABCDEFGH
(AF) (EGD)
E H
F G
A
D
B C
I B C D
−−−−→ −−−−→ −−−−→ →
IB + IC + ID =0
−−−−→ −−−−→
G A B C D GA + GB
−−−−→ −−−−→ →
+ GC + GD =0
→ →→
(O, , j, ) A(3;2;4) B(4;0;0) C(0;6;0)i k
D(5;12;0)
Commen
v
et
et
prouv
t
ez
alors
de
,
deux
et
fa?ons
et
que
et
la
Commen
droite
ne
pa
quatre
le
5
Dans
,
7
oin
est
d?ni
parall?le
et
au
plan
4.
et
Dans
t
son
,
et
et
:
.
sans
,
utiliser
t
de
,
rep
quatre
,
deux
?
r?els.
1.
2
la
utilisan
t
our
un
soien
rep
2.
?re.
fonction
,
.
que
trer
our
D?mon
.
.
rep
et
t
,
4.
,
ter
8
oin
Cen
our
tre
t
de
?
gra
si
vit?
ecteurs
d'un
ts
t?tra?dre.
Pr?liminaires
.
:
vit?
Le
de
p
tre
ts
de
,
gra
,
vit?
et
est
de
par
trois
relation
p
t
oin
hoisir
ts
p
4
que
,
,
Dans
t
et
?
un
Exprimer
est
en
d?ni
de
par
.
la
3.
relation
t
v
hoisir
ectorielle
p
:
que
rep
et
?re
1.
orthonorm?,
un
on
?re
ts
soien
oin
pas
p
?
les
Commen
t
on
hoisir
orthonorm?
repr?sen
?re
les
rep
p
Dans
ts
6
p
que
.
soien
3.
les
orthogonaux
v
ecteurs
Indiquer
et
les
,
v
o?
suiv
et
an
son
son
.
et
Le
1.
et
tre
2.
de
gra
?re
.
et
enI B C D I
G A B C D G
−−−−→ −−−−→
AI AG
−−−−→ −−−−→ −−−−→ −−−−→
AI AG AI AG
ABCDEFGH I [AE] J [CG]
−−−−→ −−−−→ −−−−→
(H, HE, HG, HD)
D C
B
A
J
I
H G
E F
−−−−→
~DJ IF DJFI
−−−−→
JF JF DJ
DJFI
DJFI
IJ DF
DJFI
ABCDEF ABC
B BA = 3 BC = 5 BE = 10
M [AD] AM =x
M [AD] EMC M
→ →→
(B, , j, )i k
rep
telles
?re
arie
est
est
orthonormal.
,
2.
le
Calculer
les
tes
ordonn?es
.
des
ordonn?es
v
ositions
ecteurs
tre
,
don
de
un
3
les
ordonn?es
gra
,
les
oin
Calculer
t
2.
ose
son
herc
On
.
et
En
P
d?duire
rep
la
et
nature
Calculer
de
la
1
de
de
On
t
suiv
.
tre
3.
,
Calculer
et
les
repr?sen
Le
ordonn?es
4.
de
le
les
et
On
exprimer
?re
en
On
fonction
les
de
.
v
et
le
de
les
faire
e
utilise
orthonormal
et
trer
le
milieu
Dans
3.
.
les
Que
t
p
base
eut-on
ordonn?es
alors
est
dire
triangle
sur
en
la
.
nature
de
longueurs
losange.
an
d'un
:
Aire
de
9
vit?
?
de
4.
,
et
puis
que
ter
Justier
.
est-il
p
un
t
v
?
sur
1.
segmen
de
Calculer
t?
la
.
gra
p
vit?
des
et
rep
de
.
,
.
he
6.
p
En
de
d?duire
sur
l'aire
.
de
ecteurs
et
que
,
triangle
puis
.
repr?sen
soit
.
en
.
10
our
La
les
gure
on
le
repr?sen
?re
te
5.
un
D?mon
prisme
que
droit
de
ter
le
.
.
5.
repr?sen
Calculer
sur
les
gure.
etE
D
F
M
→
→ k
i
→BjA
C
−−−−→ −−−−→
E M C ME MC
x
x EMC M
M
ABCDEFGH ABG I
−−−−→ −−−−→ −−−−→
(BI) (H; HE, HG, HD)
D C
B
A
I
H G
E F
−−−−→ −−−−→ −−−−→
A B G AB BG AG
ABG
ABG
I AI
−−−−→ −−−−→1
AI = AG
3
I
\ \cosBAG BAG
.
.
disctincs,
p
p
p
une
de
des
fonction
en
Exprimer
rep
2.
our
.
.
1.
trigonom?trie
(a)
et
Pr?ciser
T
les
ondan
les
ordonn?es
un
de
une
de
de
,
Placer
fonction
t
4
utilisan
de
ules
,
deux
puis
triangle
trer
des
.
v
er
ecteurs
de
en
au
et
3.
ecteurs
de
v
Calculer
des
e
,
1.
aleur
,
d'une
puis
Choisissons
,
unit?s).
et
le
,
oin
de
le
Dans
En
hauteur
t
et
form
ordonn?es
de
dans
les
triangles
Calculer
1.
soit
la
mon
de
que
(b)
en
D?mon
3.
trer
rouv
que
les
le
ositions
triangle
r?p
pied
t
le
probl?me.
est
.
que
Calculer
our
ordonn?es
11
V
4.
des
est
d?nissan
des
?re
de
le
dans
puis
rep
v
orthonorm?.
appro
la
h?e
osition
mesure
l'angle
par
.
ort
est
.
12
2.
Dessiner
?quations
le
t
triangle
plans
le
,
un
triangle
?re
aux
Pr?ciser
et
p
plans
de
plans
hoisir
rapp
4cm
p
axes
en
aux
vraies
de
dimensions
ordonn?
