MATH I PC ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES

00MATH.I-PC
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI).
CONCOURDS D’ADMISSION 2000
MATHÉMATIQUES
PREMIÈRE ÉPREUVE
FILIÈRE PC
(Durée de l’épreuve : 3 heures)
Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE EIVP.
L’emploi de la calculette est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon très apparente sur la première page de la
copie : MATHÉMATIQUES I - PC.
L’énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC, comporte 5 pages.
Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et
poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
Dans tout le problème n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 n ? 2 . Soit´ ˆ
nB = ´e , e , ...,e ˆ la base canonique de l’espace vectoriel complexe C . A un vecteur X de1 2 n
nl’espace vectoriel C , de coordonnées x , x ,..., x , est associée la matrice V´Xˆ dont les1 2 n
éléments V´Xˆ ,1? p ? n,1? q ? n, sont définis par la relation :p,q
q 1V´Xˆ = ´x ˆ .pp,q
Le déterminant v´Xˆ de la matrice V´Xˆ est un déterminant de Van der Monde ; il est admis que
sa valeur est donnée par la relation suivante :
v´Xˆ = det V´Xˆ = ´x ? x ˆ.< q p
1 p q n
nIl est admis que l’applicationq.q de l’espace vectoriel complexe C dans R :
X — qXq=sup |x |,p
1 p n
nest une norme. Soit E l’espace vectoriel normé C ,q.q .´ ˆn
Le but du problème est de montrer qu’à cette application v de E dans C peut être associé unn
réel_ tel que, pour tout vecteur X de E la relation suivante a lieu :n
n n 1 /2|v´Xˆ| ? _qXq ,
où le réel_ est une valeur prise pour un vecteur unitaire particulier W :
1/5-
?+??<?????_ = v´Wˆ,avec:qWq = 1.| |
1. Définition du réel_ :
L’entier n est fixé n ? 2 .´ ˆ
a. Comparer pour tout vecteur X de l’espace vectoriel normé E et tout nombre complexeVn
les deux expressions v´V.Xˆ et v´Xˆ.
En particulier, étant donné un vecteur X de E , soit Y un vecteur de E de norme unitén n
vérifiant la relation : X = qXq.Y ; exprimer le nombre complexe v´Xˆ en fonction de v´Yˆ et de
qXq.
b. Démontrer que l’application v de l’espace vectoriel normé E dans C est continue. Enn
déduire que l’application continue X — |v X | admet un maximum sur la sphère unité S,´ ˆ
S = ˘X 5 E P qXq = 1˙,n
atteint pour au moins un vecteur W. Soit_ le maximum de cette fonction sur la sphère unité :
_ =max |v´Xˆ|.
X 1
c. Démontrer les deux relations :
n n 1 /2q qi. pour tout vecteur X de E , |v´Xˆ| ? _ X ;n
ii. il existe au moins un vecteur unitaire W de E tel quen
v´Wˆ = _.| |
2. Cas n = 2:
Caractériser les vecteurs qui appartiennent à la sphère unité S :
S = ˘X 5 E P qXq = 1˙.2
Déterminer le maximum_ de la fonction X — v X sur la sphère unité. Démontrer que les| ´ ˆ|
vecteurs unitaires qui rendent maximum v X sont proportionnels à un même vecteur X dont| ´ ˆ| 1
la première coordonnée est égale à 1. Les déterminer.
3. Cas n = 3:
a. Etant donnés trois réels positifs ou nuls t , t et t , t ? 0, 1 ? i ? 3 démontrer1 2 3 i
l’inégalité suivante
31t .t .t ? ´t + t + t ˆ .1 2 3 1 2 3
27
Démontrer que l’égalité a lieu si et seulement si les trois réels t ,t ,t sont égaux.1 2 3
b. Etant donnés trois nombres complexes x , x et x , soient A,B et C les trois fonctions des1 2 3
variables x , x et x définies par les relations suivantes :1 2 3
2 2 2A = x ? x + x ? x + x ? x| | | | | |1 2 2 3 3 1
23 3
2B = x ; C = x .| |> k > k
k 1 k 1
2/5-
?=q=?q=?Démontrer que A est une combinaison linéaire de B et de C.
c. Caractériser les vecteurs qui appartiennent à la sphère unité S :
S = ˘X 5 E P qXq = 1˙.3
2d. Calculer, pour un vecteur X quelconque de l’espace E , l’expression |v´Xˆ| . En déduire3
une valeur possible pour le réel_. Déterminer les équations que vérifient les coordonnées x , x1 2
et x d’un vecteur W unitaire rendant v´Wˆ maximum. Exhiber une solution à l’aide des racines| |3
cubiques de l’unité. En déduire le réel_.
4. Une minoration du réel_ :
SoitI le vecteur unitaire dont les coordonnéesg ,1? p ? n, sont définies par la relation :p
2 i p? 1 ^´ ˆ2i p 1 /ng = e = exp .p n
a. V´Iˆ est la matrice définie à partir du vecteurI ; V´Iˆ est la matrice complexe
conjuguée. Démontrer que la matrice produit V´Iˆ.V´Iˆ est une matrice proportionnelle à la
matrice identité.
b. En déduire la valeur du module |v´Iˆ| du déterminant de la matrice V´Iˆ et une
minoration du réel_.
5. Une inégalité de Hadamard :
n nDans cette question il est admis que l’application de C … C dans C qui, à deux vecteurs
X = x et Y = y , fait correspondre le nombre complexe X P Y , défini par la´ ˆ ´ ˆ ´ ˆi i1 i n 1 i n
relation suivante
n
X P Y = x .y ,´ ˆ > i i
i 1
nest un produit scalaire hermitien. Soit F l’espace préhilbertien ´C ,´. P .ˆˆ.n
La norme déduite de ce produit scalaire est notéeq.q ; elle est définie par la relation :2
n
2qXq = ´X P Xˆ = |x | .> i2
i 1
Etant donnée une suite de n vecteurs indépendants V , V ,...,V de l’espace préhilbertien F ,1 2 n n
soit M V , V ,...,V la matrice carrée d’ordre n dont les vecteurs colonnes sont les vecteurs1 2 n
V , V , ..., V .1 2 n
a. Déterminer, lorsque les vecteurs V , V ,...,V sont deux à deux orthogonaux, le produit B1 2 n
de la matrice transposée de la matrice complexe conjuguée de la matrice M V , V ,...,V avec1 2 n
la matrice M V , V ,...,V :1 2 n
t
B = M V , V ,...,V .M V , V ,...,V .1 2 n 1 2 n
Que vaut le module du déterminant de la matrice M V , V ,...,V ?1 2 n
b. Soit U , U ,...,U les vecteurs de l’espace F définis de la manière suivante :1 2 n n
6 U = V ,1 1
6 U = V ? proj ´V ˆ ; proj ´V ˆ est le vecteur projection du vecteur V sur la droite2 2 1 2 1 2 2
3/5-
^???=?=???vectorielle engendrée par V ,1
6 pour tout entier i compris entre 3 et n 3 ? i ? n : U = V ? proj V ; proj V est le´ ˆ i i i 1´ iˆ i 1´ iˆ
vecteur projection du vecteur V sur l’espace vectoriel engendré par les vecteurs V ,V ,...,V .i 1 2 i 1
Démontrer l’égalité entre les déterminants des deux matrices M V , V ,...,V et1 2 n
M U , U ,...,U :1 2 n
det M U , U ,...,U = det M V , V ,...,V .1 2 n 1 2 n
c. Déduire des résultats précédents l’inégalité :
det M V , V ,...,V ? qV q .qV q ...qV q .1 2 n 1 2 n2 2 2
Démontrer, lorsque les vecteurs V , V ,...,V sont tous différents de 0, qu’il y a égalité entre1 2 n
les deux membres de cette relation si et seulement si les vecteurs V , V ,...,V sont deux à deux1 2 n
orthogonaux.
6. Une majoration du réel_ :
Démontrer pour tout vecteur X de l’espace vectoriel E , de coordonnées x ,x ,...,x ,n 1 2 n
l’inégalité suivante :
n n
2 2 p 1
|v´Xˆ| ? |x | .<> q
q 1 p 1
Déterminer pour un vecteur X unitaire qXq = 1 de l’espace vectoriel E une majoration du´ ˆ n
module |v´Xˆ|. En déduire la valeur du réel_.
7. Recherche des vecteurs W :
Soit W un vecteur unitaire de l’espace E , de coordonnées x ,1? p ? n, pour lequel len p
n/2déterminant v´Wˆ de la matrice V´Wˆ a un module égal au réel_ = n :
n/2|v´Wˆ| = n .
a. Démontrer que les coordonnées x ,1? p ? n de ce vecteur W sont deux à deux différentesp
l’une de l’autre :
pour tout couple d’entiers p et q, p ? q, x ? x .p q
b. Démontrer, en utilisant par exemple l’inégalité de Hadamard, que les coordonnées
x , x , ..., x , de ce vecteur ont toutes un module égal à 1 et vérifient les n? 1 relations suivantes1 2 n
:
n n n
2 n 1
x = 0, ´x ˆ = 0,..., ´x ˆ = 0.> p > p > p
p 1 p 1 p 1
A ce vecteur W est associé le polynôme P défini par la relation suivante : pour tout réel t,W
n
P ´tˆ = ´t? x ˆ.W < p
p 1
Ce polynôme P peut aussi être écrit sous la forme :W
4/5-
=?=??=?=?=??=n
kP ´tˆ = J t .W > k
k 1
i 0c. Que vaut le coefficientJ ? Démontrer qu’il est possible de poserJ = ?e oùS est unn 0 0
réel.
Soit F la fraction rationnelle définie par la r